Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 11 Iunie, 2010

EXERCITIUL 1

Suport teoretic:

Ecuatii binome,numere complexe,forma algebrica,forma trigonometrica,modul numar complex,argumentul redus,radacini ordinul n.

Enunt:

Sa se rezolve ecuatia binoma:

(1-3i)\cdot{z}^{2010}=1+i.(1-3i)\cdot{z}^{2010}=1+i.

Raspuns:

z_k={\sqrt[2010]{\frac{\sqrt{5}}{5}}}z_k={\sqrt[2010]{\frac{\sqrt{5}}{5}}} \cdot\cdot [{cos}{\frac{(2k+1){\pi}-{arctg}{2}}{2010}}[{cos}{\frac{(2k+1){\pi}-{arctg}{2}}{2010}} +{i}\cdot{{sin}{\frac{(2k+1){\pi}-{arctg}{2}}{2010}}}],+{i}\cdot{{sin}{\frac{(2k+1){\pi}-{arctg}{2}}{2010}}}], k=\overline{0,2009}.k=\overline{0,2009}.

Rezolvare:

Ecuatia se scrie succesiv:

{z^{2010}=\frac{1+i}{1-3i}}\Leftrightarrow{\cdots}\Leftrightarrow{z^{2010}=-\frac{1}{5}+{\frac{2}{5}}\cdot{i}}.{z^{2010}=\frac{1+i}{1-3i}}\Leftrightarrow{\cdots}\Leftrightarrow{z^{2010}=-\frac{1}{5}+{\frac{2}{5}}\cdot{i}}.

1) Calculam modulul numarului complex

{z}^{{z}^{'}=-\frac{1}{5}+{\frac{2}{5}}\cdot{i}:

r=|{z}^{r=|{z}^{'}|=\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{4}{25}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.

2) Calculam apoi argumentul sau redus:

t={arctg}{\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{1}{5}}}+\pi,\;({a}<{0}\;si\;b\not={0}),\;deci\;t=\pi-{arctg2}.t={arctg}{\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{1}{5}}}+\pi,\;({a}<{0}\;si\;b\not={0}),\;deci\;t=\pi-{arctg2}.

Rezulta de aici ca solutiile ecuatiei date reprezinta radacinile de ordinul 2010 ale numarului complex z'.

Acestea se calculeaza folosind formula cunoscuta:

z_k=\sqrt[n]{r}({cos}{\frac{t+2k\pi}{n}}+i{sin}{\frac{t+2k\pi}{n}}),\;k=\overline{0,n-1}.z_k=\sqrt[n]{r}({cos}{\frac{t+2k\pi}{n}}+i{sin}{\frac{t+2k\pi}{n}}),\;k=\overline{0,n-1}.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan