Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 12 Octombrie, 2017

EXERCITIUL17

Suport teoretic:

Inductia matematica,inegalitati,calcul prescurtat. 

Enunt:

Sa se demonstreze prin inductie matematica inegalitatea

{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots+\frac{n}{n+1}}\leq{\frac{n^2}{n+1}}\;,{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots+\frac{n}{n+1}}\leq{\frac{n^2}{n+1}}\;,  

pentru orice n natural nenul.

Demonstratie:

Fie

P(n):{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots+\frac{n}{n+1}}\leq{\frac{n^2}{n+1}}\;,(1)P(n):{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots+\frac{n}{n+1}}\leq{\frac{n^2}{n+1}}\;,(1)  

pentru orice n Є N* .

Se verifica usor ca  P(1) este adevarat (1/2  ≤  1²/2) , (2).

Sa aratam ca P(n) ⇒ P(n+1), oricare ar fi n Є N*, (3) :

Din (1) rezulta:

{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots+\frac{n}{n+1}+\frac{n+1}{n+2}}\leq{\frac{n^2}{n+1}+\frac{n+1}{n+2}}=\dots={\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots+\frac{n}{n+1}+\frac{n+1}{n+2}}\leq{\frac{n^2}{n+1}+\frac{n+1}{n+2}}=\dots= \frac{n^3+3n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}\;(4).\frac{n^3+3n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}\;(4).  

Se arata apoi ca  

{\frac{n^3+3n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}}<{\frac{(n+1)^2}{n+2}}\;(5).{\frac{n^3+3n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}}<{\frac{(n+1)^2}{n+2}}\;(5).

Din (4) si (5) avem (3) si, apoi, din (2) si (3) rezulta ca P(n) este adevarat conform principiului inductiei matematice .


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan