Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 11 Februarie, 2013

ECUATII TRIGONOMETRICE-teorie

Ecuatii trigonometrice fundamentale: 

1)\,sinx={a}\in{[-1,+1]}\Leftrightarrow{x_k}={(-1)}^{k}arcsina+k\pi,{k}\in{\mathbb{Z}}.1)\,sinx={a}\in{[-1,+1]}\Leftrightarrow{x_k}={(-1)}^{k}arcsina+k\pi,{k}\in{\mathbb{Z}}.

2)\,cosx={a}\in{[-1,+1]}\Leftrightarrow{x_k}=\pm{arccosa}+2k\pi,{k}\in{\mathbb{Z}}.2)\,cosx={a}\in{[-1,+1]}\Leftrightarrow{x_k}=\pm{arccosa}+2k\pi,{k}\in{\mathbb{Z}}.

3)\,tgx={a}\in{\mathbb{R}}\Leftrightarrow{x_k}=arctga+k\pi,{k}\in{\mathbb{Z}}.3)\,tgx={a}\in{\mathbb{R}}\Leftrightarrow{x_k}=arctga+k\pi,{k}\in{\mathbb{Z}}.

4)\,ctgx={a}\in{\mathbb{R}}\Leftrightarrow{x_k}=arcctga+k\pi,{k}\in{\mathbb{Z}}.4)\,ctgx={a}\in{\mathbb{R}}\Leftrightarrow{x_k}=arcctga+k\pi,{k}\in{\mathbb{Z}}.

Exemplu:

Ecuatia 2sinx - 1 = 0 are solutia:

x_k={(-1)}^{k}arcsin{\frac{1}{2}}+k\pi,{k}\in{\mathbb{Z}},\;adica\;x_k={(-1)}^{k}{\frac{\pi}{6}}+k\pi,{k}\in{\mathbb{Z}}.x_k={(-1)}^{k}arcsin{\frac{1}{2}}+k\pi,{k}\in{\mathbb{Z}},\;adica\;x_k={(-1)}^{k}{\frac{\pi}{6}}+k\pi,{k}\in{\mathbb{Z}}.

Ecuatii trigonometrice reductibile la ecuatii algebrice:

Sunt ecuatiile de forma P(trig(mx)) = 0, unde P este un polinom de gradul n > 1,

cu coeficenti reali; "trig" simbolizeaza o functie trigonometrica oarecare,

iar m este numar real. 

Notand trig(mx) = y, obtinem ecuatia algebrica P(y) = 0, de gradul n, cu radacinile reale

y1,y2,...,yk, kЄ{1,2,3,...,n}; in continuare se rezolva ecuatiile

trig(mx) = yi, i = 1,2,3,...,k.

Exemplu:

Sa se rezolve in R ecuatia trigonometrica:

tg²x - 6tgx + 5 = 0.

Cu notatia tgx = t, unde xЄR\{(2k+1)(π/2)|kЄZ}, obtinem ecuatia de gradul al doilea

t² - 6t + 5 = 0, avand radacinile 1 si 5.

Distingem cazurile tgx = 1 sau tgx = 5, deci:

xk = arctg1 + kπ = π/4 +kπ, kЄZ sau xk = arctg5 + kπ, kЄZ.

Atentie!

Este posibil sa nu existe solutii reale!

Ecuatii omogene in sinus si cosinus:

Sunt ecuatiile de forma P(sinx, cosx) = 0, unde P(u,v) este un polinom omogen,

cu doua variabile, ai carui termeni sunt monoame de acelasi grad k.

Exemplu:

sin²x - 3sinxcosx + 2cos²x = 0,

unde

P(u,v) = u² - 3uv + 2v², k = 2.

Impartind aceasta ecuatie prin cos²x, (evident, cosx este nenul, caci daca admitem

cosx = 0, rezulta din ecuatie si sinx = 0, ceea ce este imposibil), se ajunge la ecuatia

tg²x - 2tgx + 2 = 0 etc.

In mod similar se procedeaza in cazul altor valori ale lui k.

Observatie:

Daca ecuatia are forma P(u,v) = m, unde m este numar real nenul, iar k = 2k ',

atunci ecuatia se omogenizeaza, scriind-o sub forma:

P(sinx,cosx)={m}\cdot{({{\sin}^{2}}{x}+{{\cos}^{2}}{x})}^{kP(sinx,cosx)={m}\cdot{({{\sin}^{2}}{x}+{{\cos}^{2}}{x})}^{k'}.  

Ecuatii liniare in sinus si cosinus:

Sunt ecuatiile de forma

asinx + bcosx + c = 0,  unde a, b, c sunt numere reale,

astfel incat a·b·c este numar real nenul (alte cazuri conduc la ecuatii usor de analizat).

Distingem urmatoarele metode de rezolvare:

a) Metoda unghiului auxiliar:

Se imparte prin a si se obtine

sinx + (b/a)cosx = c/a; se noteaza b/a = tgα, 

deci

α = arctg(b/a), αЄ(-π/2,π/2).

Dupa cateva calcule se ajunge la ecuatia elementara

sin(x+α) = (c/a)·cosα etc.

Exemplu:

3sinx + V3cosx = V3 < = > sinx + [(V3)/3]cosx = V3/3.

Cum (V3)/3 = tg(π/6), avem:

cos(π/6)sinx + sin(π/6)cosx = (V3/3)cos(π/6) < = > sin(x+π/6) = 1/2 .

S-a obtinut o ecuatie trigonometrica fundamentala etc.

b) Metoda substitutiei:

Cu ajutorul formulelor

sinx=\frac{2tg{\frac{x}{2}}}{1+{tg}^{2}{\frac{x}{2}}}sinx=\frac{2tg{\frac{x}{2}}}{1+{tg}^{2}{\frac{x}{2}}}

si

cosx=\frac{1-{tg}^{2}{\frac{x}{2}}}{1+{tg}^{2}{\frac{x}{2}}},cosx=\frac{1-{tg}^{2}{\frac{x}{2}}}{1+{tg}^{2}{\frac{x}{2}}},

obtinem o ecuatie de gradul al doilea cu necunoscuta tg(x/2) etc.

Observatie:

Intrucat numarul tg(x/2) nu exista daca x = (2k+1)π, kЄZ, rezulta ca eventualele solutii

de aceasta forma se pot pierde; prin urmare, in final, trebuie verificate in ecuatia

initiala si numerele respective.

Postat în: TRIGONOMETRIE-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan