Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Daca f este un polinom în x1 , x, x3 , ... , xn , având coeficienţi întregi,

o ecuaţie de forma f(x1 , x, x3 , ... , xn) = b, unde bЄZ, se numeşte

ecuaţie diofantică dacă soluţiile ei sunt numere întregi; dacă are forma

 a1x1 + a2x+ a3x3 + ... + anxn = b,  se numeşte ecuaţie diofantică liniară.

Este uşor de înţeles că o ecuaţie diofantică admite soluţii întregi

dacă şi numai dacă b este divizibil cu c.m.m.d.c. al coeficienţilor ak,

kЄ{1,2,...,n}.

Rezolvarea ecuaţiilor diofantice, în general dificile, foloseşte cunoştinţe

legate de divizibilitatea în Z.  

Cazul particular, obţinut pentru n = 2, anume ecuaţia diofantică liniară

ax + by = c, obiectul prezentării de mai jos, admite o rezolvare uşor de

înţeles.

TEORIE

Data publicarii: 10.05.2014

Teorema:

Ecuatia diofantica liniara, ax + by = c (a,b,c - numere intregi nenule) are solutii intregi

daca si numai daca d = (a,b)|c (c.m.m.d.c. al numerelor a si b divide c).

In acest caz, multimea solutiilor este S = {(x,y)ЄZxZ|x = xo + kb, y = yo - ka, kЄZ},

unde (xo,yo) este o solutie particulara a ecuatiei, in ipoteza ca d = (a,b) = 1.

Demonstratie:

1) Direct:

Din ipoteza axo + byo = c, unde (xo,yo)ЄZxZ, rezulta imediat ca orice divizor comun

al numerelor a si b, divide c, adica (a,b)|c.

2) Reciproc:

CONTINUARE LA : TEORIE

EXERCITIUL 4

Data publicarii: 15.05.2014

Suport teoretic:

Ecuatii diofantice,divizibilitate in Z,operatii cu multimi.

Enunt:

Sa se rezolve in multimea ZxZ ecuatia diofantica:

x² - 2x - y²x  + y³ + 1 = 0.

Raspuns:

S = {(k+1,k)|kЄZ}U{(k²+k+1,k+1)|kЄZ\{1}}.

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 4

EXERCITIUL 3

Data publicarii: 13.05.2014

Suport teoretic:

Graficul unei functii,operatii cu multimi,produs cartezian,ecuatii diofantice,divizibilitate in Z.

Enunt:

Fie functia

f:R* - > R, f(x) = (8-2x)/3x².

Sa se afle intersectia I dintre graficul functiei f (anume Gf) si produsul cartezian ZxZ.

Raspuns:

I = {(1;2),(-2;1),(4;0)}.

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 3

EXERCITIUL 2

Data publicarii: 12.05.2014

Suport teoretic:

Ecuatii diofantice,numere naturale,divizibilitatea in Z.

Enunt:

Sa se rezolve ecuatia

5x - 3y - 3 = 0

in multimea NxN.

Raspuns:

S = {(3-3k,4-5k)|kЄZ,k < 1}.

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 2

EXERCITIUL 1

Data publicarii: 11.05.2014

Suport teoretic:

Ecuatii diofantice,numere intregi,divizibilitatea in Z.

Enunt:

Sa se rezolve in multimea numerelor intregi ecuatia diofantica:

2x - xy + 3y = - 4.

Raspuns:

S = {(13;3),(-7;1),(8;4),(-2;0),(5;7),(1;-3),(4;12),(2;-8)}.

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 1

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan