Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 19 Decembrie, 2008

DEFINITII, GENERALITATI

Definitie:

Numim ecuatie algebrica de gradul n orice ecuatie de forma

{a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},{a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},

unde ak in C, pentru orice k natural, iar an diferit de 0.

Teorema Abel-Ruffini:

O ecuatie algebrica de grad mai mare sau egal cu 5 nu poate fi rezolvata prin radicali

(adica nu exista formule cu radicali, care sa permita aflarea radacinilor).

Teorema fundamentala a algebrei (D'Alembert-Gauss):

Orice ecuatie algebrica

{a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},{a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},

unde ak in C, pentru orice k natural, de grad  n > 1, are cel putin o radacina complexa.

Radacini multiple:

Definitie:

Fie polinomul fЄC[X] (cu coeficienti complecsi in nedeterminata X), asociat

ecuatiei algebrice

{a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},{a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},

unde

{a_k}\in{\mathbb{C}},\forall{k}\in{\mathbb{N}},{a_n}\neq{0}\;si\;\alpha\in{\mathbb{C}}{a_k}\in{\mathbb{C}},\forall{k}\in{\mathbb{N}},{a_n}\neq{0}\;si\;\alpha\in{\mathbb{C}}

o radacina a acestuia, deci si a ecuatiei respective.

Numarul natural nenul m, cu proprietatile 

{{(X-\alpha)}^{m}}|f\;si{{(X-\alpha)}^{m}}|f\;si {(X-\alpha)}^{m+1}\not|f,{(X-\alpha)}^{m+1}\not|f,  

se numeste ordinul de multiplicitate al radacinii α (pentru m = 1 radacina este numita

simpla, pentru m = 2 radacina este numita dubla etc).

Consecinte:

  • Daca radacinile αk, kЄ{1,2,...,r}, au ordinele de multiplicitate ik, respectiv, atunci polinomul

{(X-{\alpha}_1)}^{i_1}{(X-{\alpha}_2)}^{i_2}\cdots{(X-{\alpha}_r)}^{i_r}{(X-{\alpha}_1)}^{i_1}{(X-{\alpha}_2)}^{i_2}\cdots{(X-{\alpha}_r)}^{i_r}

divide pe f. 

  • Orice polinom de grad n mai mare sau egal cu 1 are exact n radacini, nu neaparat distincte; o radacina se repeta de un numar de ori egal cu ordinul sau de multiplicitate. 

Fie polinomul

f={a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}},f={a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}},

unde

{a_k}\in{\mathbb{C}},\forall{k}\in{\mathbb{N}},{a_n}\neq{0}.{a_k}\in{\mathbb{C}},\forall{k}\in{\mathbb{N}},{a_n}\neq{0}.

Daca

{x_1},{x_2},\cdots,{x_n}{x_1},{x_2},\cdots,{x_n}

sunt cele n radacini (nu neaparat distincte), atunci:

f = an(X - x1)(X - x2)(X - xn).

In plus, aceasta descompunere in factori este unica.

Teorema: 

Numarul x = a este o radacina multipla de ordinul k a polinomului fЄR[X]

daca si numai daca 

f(a)=f^{f(a)=f^{'}(a)=f^{"}(a)=\cdots=f^{(k-1)}(a)=0\;si\;f^{(k)}(a)\not={0}.

Relatiile lui Viète:

Fie f de gradul n in C[X] (polinom, cu coeficienti complecsi si nedeterminata X),

de forma 

f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0}, {{a_n}}\neq{0}f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0}, {{a_n}}\neq{0}

si

{x}_{k},{1}\leq{k}\leq{n},{x}_{k},{1}\leq{k}\leq{n},

cele n radacini ale sale; atunci:

\begin{cases}\sum{x_1}=-\frac{a_{n-1}}{a_n}\\\sum{x_1}{x_2}=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_{k}}={(-1)}^{k}}\cdot\frac{a_k}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_n}}={{(-1)}^{n}}\cdot\frac{a_0}{a_n}\end{cases},\begin{cases}\sum{x_1}=-\frac{a_{n-1}}{a_n}\\\sum{x_1}{x_2}=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_{k}}={(-1)}^{k}}\cdot\frac{a_k}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_n}}={{(-1)}^{n}}\cdot\frac{a_0}{a_n}\end{cases},

unde prin

\sum{x_1}{x_2}\cdots{x_i}\sum{x_1}{x_2}\cdots{x_i}

intelegem suma tuturor produselor de cate i radacini ale polinomului f

(i  = 1, 2, 3,..., k, ... , n).

Observatie:

Daca se noteaza cu S, S, S,..., Ssumele din relatiile lui Viète, atunci

ecuatia algebrica, ale carei radacini sunt x, x, x,..., xn, are urmatorul aspect:

x^n-S_1x^{n-1}+S_2x^{n-2}-\cdots+(-1)^kS_kx^{n-k}+\cdots+(-1)^{n-1}S_{n-1}x+(-1)^nS_n=0.x^n-S_1x^{n-1}+S_2x^{n-2}-\cdots+(-1)^kS_kx^{n-k}+\cdots+(-1)^{n-1}S_{n-1}x+(-1)^nS_n=0.  

Cazuri particulare:

  • Ecuatia de gradul al doilea:  x² - S·x + P = 0.
  • Ecuatia de gradul al treilea:  x³ - S1·x² + S2·x - S3 = 0.

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

tematici matematice

Bucur Petre, 27.11.2011 19:44

Va salut, Temele abordate de Dv.stra sunt de nivel ridicat si, pe intelesul elevilor de liceu. Este o initiativa laudabila, care cred ca forurile Dv.stra nu o iau in seama! Este bine ce faceti pentru cititori! PS Un prof. mai in varsta

Răspuns: Multumesc mult, Domnule Profesor, pentru aprecierile Dv.!

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan