Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 08 Ianuarie, 2009

TEORIE

Definitia determinantului (de ordinul n): 

Fiind dată o matrice de ordinul n, de forma A = (aij) unde i,jЄ{1, 2, ... ,n} adica 

A =\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right),A =\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right),

numim determinantul asociat matricei A numărul notat:

{det(A)} = \sum_{\sigma\in{S_n}}{{\epsilon{(\sigma)}}\cdot{a_{1\sigma(1)}}\cdot{a_{2\sigma(2)}}\cdots{a_{n\sigma(n)}}}.{det(A)} = \sum_{\sigma\in{S_n}}{{\epsilon{(\sigma)}}\cdot{a_{1\sigma(1)}}\cdot{a_{2\sigma(2)}}\cdots{a_{n\sigma(n)}}}.

Cazuri particulare:

n=2\Rightarrow\left|\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21};n=2\Rightarrow\left|\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21};

n=3\Rightarrow\left|\begin{array}{rcl}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|=n=3\Rightarrow\left|\begin{array}{rcl}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|=  a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33},a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33},

rezultat obtinut prin regula lui Sarrus, sau prin metoda triunghiurilor.

Observatie:

Definitia determinantului de ordinul n arata ca suma, care reprezinta valoarea

acestuia, contine n! termeni; acestia sunt produse de cate n factori distincti,

cate unul de pe fiecare linie si de pe fiecare coloana a matricei respective:

produsele precedate de semnul + corespund permutarilor pare σЄSn,

iar celelalte, precedate de semnul - , corespund permutarilor impare.

De pilda, permutarii

\sigma=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\{\sigma}(1)&{\sigma}(2)&{\sigma}(3)\end{array}\right)=\sigma=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\{\sigma}(1)&{\sigma}(2)&{\sigma}(3)\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&1&3\end{array}\right)\in{S_{3}}\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&1&3\end{array}\right)\in{S_{3}}

ii corespunde termenul -a12 a21 a33, intrucat permutarea σ este impara

(are o singura inversiune) si, deci: ε(σ) = -1.

Proprietatile determinantilor:

  • Determinantul unei matrice patratice este egal cu determinantul matricei transpuse;
  • Daca toate elementele unei linii (coloane) sunt nule, atunci determinantul este nul;
  • Daca inmultim toate elementele unei linii (coloane) cu un numar, atunci valoarea determinantului se inmulteste cu acel numar;
  • Daca doua linii (coloane) sunt proportionale, atunci determinantul este nul;
  • Daca schimbam intre ele doua linii (coloane), atunci valoarea determinatului isi schimba semnul;
  • Daca adunam toate elementele unei linii (coloane), inmultite cu un numar, la elementele corespunzatoare ale altei linii (coloane), atunci valoarea determinantului nu se schimba;
  • Daca o linie (coloana) este combinatie liniara a celorlalte linii (coloane), atunci determinantul este nul;
  • Determinantul produsului a doua matrice patratice, de acelasi ordin, este egal cu produsul determinantilor celor doua matrice;
  • Un determinant de ordinul n > 1 este egal cu suma produselor dintre elementele  unei linii (coloane) si complementii lor algebrici (dezvoltarea unui determinant dupa o linie / coloana, (sau regula minorilor); cu ajutorul acestei proprietati, calculul unui determinant de ordinul n se reduce la calculul unor determinanti de ordinul (n-1).

Determinantul Vandermonde:                                                                 

{V_n}=\left|\begin{array}{ccccc}1&1&1&\cdots&1\\{x_1}&{x_2}&{x_3}&\cdots&{x_n}\\{{x_1}^2}&{{x_2}^2}&{{x_3}^2}&\cdots&{{x_n}^2}\\\cdots\\{{x_1}^{n-1}}&{{x_2}^{n-1}}&{{x_3}^{n-1}}&\cdots&{{x_n}^{n-1}}\end{array}\right|=\prod_{1\leq{i}<{j}\leq{n}}({x_j}-{x_i}).{V_n}=\left|\begin{array}{ccccc}1&1&1&\cdots&1\\{x_1}&{x_2}&{x_3}&\cdots&{x_n}\\{{x_1}^2}&{{x_2}^2}&{{x_3}^2}&\cdots&{{x_n}^2}\\\cdots\\{{x_1}^{n-1}}&{{x_2}^{n-1}}&{{x_3}^{n-1}}&\cdots&{{x_n}^{n-1}}\end{array}\right|=\prod_{1\leq{i}<{j}\leq{n}}({x_j}-{x_i}).  

Caz particular: 

{V_3}=\left|\begin{array}{rcl}1&1&1\\a&b&c\\{a^2}&{b^2}&{c^2}\end{array}\right|=(b-a)(c-a)(c-b).{V_3}=\left|\begin{array}{rcl}1&1&1\\a&b&c\\{a^2}&{b^2}&{c^2}\end{array}\right|=(b-a)(c-a)(c-b).

Postat în: DETERMINANTI-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

matematica

eleva, 25.10.2014 12:33

as vrea sa vad cateva modele, chiar mi-ar fi de ajutor

Răspuns: INCEPAND CU 18 MAI 2015, TOATA INFORMATIA FURNIZATA DE ACEST SITE ESTE ACCESIBILA ORICUI DORESTE, IN MOD GRATUIT! Admin. Prof. Emil Dumitrecu

Hallie

LiOAqRXmiy, 23.10.2011 19:02

It's really great that pelope are sharing this information.

Răspuns: 0

elev

Mitrut, 23.01.2011 19:17

Chiar im ieste de ajutor..multumesc mult

Răspuns: Cu mult? pl?cere!

elev

nila maria, 29.11.2010 11:49

foarte bun cursul

Răspuns: Sunt bucuros s? aflu c? munca mea nu-i zadarnic? ! Mul?umesc pentru aten?ia acordat? !

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan