Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 07 Decembrie, 2008

DEFINITII

Suma Riemann (sau suma integrala) asociata functiei f, diviziunii Δ şi

sistemului de puncte intermediare ξi, este numărul real:

{\sigma}_{\Delta}{(f,\xi)}=\sum_{i=1}^{i=n}{f{({\xi}_i)}}\cdot{({{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}}).{\sigma}_{\Delta}{(f,\xi)}=\sum_{i=1}^{i=n}{f{({\xi}_i)}}\cdot{({{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}}).

Definitie:

Functia f, definita pe intervalul [a,b] si cu valori in R, se numeste

functie integrabila Riemann pe intervalul [a,b], daca exista un numar real I,

astfel incat pentru orice sir n) de diviziuni a intervalului [a,b],

{{\Delta}_{n}} =({x_0}^{(n)},{x_1}^{(n)},{x_2}^{(n)},...,{x_{{k_n}-1}}^{(n)},{x_{{k_n}}}^{(n)}),{{\Delta}_{n}} =({x_0}^{(n)},{x_1}^{(n)},{x_2}^{(n)},...,{x_{{k_n}-1}}^{(n)},{x_{{k_n}}}^{(n)}),

cu 

\lim_{n\rightarrow{\infty}}{||{\Delta}_{n}}||=0\lim_{n\rightarrow{\infty}}{||{\Delta}_{n}}||=0  

si orice sir de puncte intermediare, de forma:

{\xi}^{(n)}=({{\xi}_{1}}^{(n)},{{\xi}_{2}}^{(n)},...,{{\xi}_{{k_n}-{1}}}^{(n)},{{\xi}_{k_n}}^{(n)}),{\xi}^{(n)}=({{\xi}_{1}}^{(n)},{{\xi}_{2}}^{(n)},...,{{\xi}_{{k_n}-{1}}}^{(n)},{{\xi}_{k_n}}^{(n)}),

unde 

{x_{i-1}}^{(n)}\leq{\xi_i}^{(n)}\leq{x_i}^{(n)},{1}\leq{i}\leq{k_n},{n}\in{\mathbb{N}},{x_{i-1}}^{(n)}\leq{\xi_i}^{(n)}\leq{x_i}^{(n)},{1}\leq{i}\leq{k_n},{n}\in{\mathbb{N}},  

sirul de sume integrale corespunzator este convergent la I.

Numarul I se numeste integrala definita sau integrala functiei f pe intervalul [a, b]

si se noteaza

\int_{a}^{b}{f(x){dx}}\int_{a}^{b}{f(x){dx}}

(se citeste: "integrala de la a la b din f(x) dx"). Deci: 

\lim_{n\rightarrow\infty}{\sigma_{\Delta_n}}{(f,\xi_i)}=\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}.\lim_{n\rightarrow\infty}{\sigma_{\Delta_n}}{(f,\xi_i)}=\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}.

Observatii:

Orice functie integrabila pe intervalul [a, b] este marginita:

exista, deci, numerele reale m, M, astfel incat:

{m}\leq{f(x)}\leq{M},\forall{x}\in{\mathbb{R}}.{m}\leq{f(x)}\leq{M},\forall{x}\in{\mathbb{R}}.  

Consecinta importanta:

Daca functia f, definita pe [a, b] si cu valori in R, nu este marginita,

atunci f nu este integrabila pe [a, b].

Atentie ! 

Integrala definita a unei functii integrabile pe un interval [a, b] este un numar real,

iar integrala nedefinita a functiei f pe intervalul [a, b] este o

multime de functii (multimea primitivelor functiei f pe intervalul [a, b]).


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http://dirigentia.blogspot.ro/p/noi.html

http:// www.supermatematic

https://www.bursadefericire.ro/sms-8844-spital

Developed by Hagau Ioan