Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

O mulţime specială de obiecte matematice, pe care s-au definit două

operaţii algebrice, numite adunare si înmulţire modulo n, prezintă 

proprietăţi interesante, cu multiple aplicaţii teoretice şi practice.

Ea se numeşte mulţimea claselor de resturi modulo n şi îşi are originea 

în teorema împărţirii cu rest în Z.

O prezentare a aspectelor teoretice esenţiale, precum şi a unor aplicaţii

semnificative urmează în cele de mai jos:

TEORIE

Data publicarii: 19.06.2010

Teorema impartirii cu rest in multimea numerelor intregi: 

Fiind dat un numar natural n, nenul, pentru orice numar intreg k exista numerele unice

q (intreg) si r (natural, mai mic decat n), astfel incat a = nq + r. 

Observatii:

1) Numarul q este catul, iar r este restul impartirii numarului a la n.

2) Notatie: r = a(mod n); se citeste "a modulo n" si r se numeste

redusul modulo n al numarului a.

3) Imaginandu-ne ca impartim toate numerele intregi la n, este evident ca resturile obtinute sunt mai mari sau egale cu 0 (in cazul multiplilor lui n), dar mai mici, cel mult egale cu n - 1; deci exista exact n tipuri de numere intregi, care se constituie in n submultimi, disjuncte 2 cate 2, a caror reuniune formeaza multimea Z (se spune ca se defineste astfel o partitie a multimii numerelor intregi).

In cazul particular n = 5, se noteaza astfel:
CONTINUARE LA : TEORIE

EXERCITIUL 8

Data publicarii: 24.10.2014

Suport teoretic:

Clase de resturi,congruente modulo n,mica teorema Fermat.

Enunt: 

Sa se demonstreze ca:

{\frac{{2010}^{2010}-1}{2011}}\in{\mathbb{N}}.{\frac{{2010}^{2010}-1}{2011}}\in{\mathbb{N}}.

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 8

EXERCITIUL 7

Data publicarii: 14.10.2014

Suport teoretic:

Polinoame,clase de resturi,impartirea polinoamelor,polinoame ireductibile.

Enunt:

Sa se arate ca polinomul

f\in{\mathbb{Z}_{3}}[X],\;f=X^3+\hat{2}X^2+aX+b,f\in{\mathbb{Z}_{3}}[X],\;f=X^3+\hat{2}X^2+aX+b,

care, impartit la

g\in{\mathbb{Z}_{3}}[X],\;g=X^2+\hat{1},\;da\;restul\;\hat{2},g\in{\mathbb{Z}_{3}}[X],\;g=X^2+\hat{1},\;da\;restul\;\hat{2},

este ireductibil.

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 7

EXERCITIUL 6

Data publicarii: 14.10.2014

Suport teoretic:

Clase resturi,teorema impartirii rest,polinoame ireductibile.

Enunt:

Fie polinoamele f,gЄZ3[X] (multimea claselor de resturi modulo 3), definite prin

f=X^3+\hat{2}X^2+aX+bf=X^3+\hat{2}X^2+aX+b

si

g=X^2+\hat{1}.g=X^2+\hat{1}.

Stiind ca restul impartirii polinomului f la g este egal cu \hat{2},\hat{2},

sa se arate ca polinomul f este ireductibil peste corpul Z3 .

Raspuns:

\hat{a}=\hat{b}=\hat{1},\;f=X^3+\hat{2}X^2+X+\hat{1}.\hat{a}=\hat{b}=\hat{1},\;f=X^3+\hat{2}X^2+X+\hat{1}.

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 6

EXERCITIUL 5

Data publicarii: 14.10.2014

Suport teoretic:

Ecuatii matriciale,clase resturi,modulo 5,inversa unei matrice.

Enunt:

Sa se rezolve in M(Z5) ecuatia matriciala:

\begin{pmatrix}\hat{2}&\hat{3}\\\hat{4}&\hat{2}\end{pmatrix}\cdot{X}=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{4}&\hat{2}\\\hat{0}&\hat{3}&\hat{1}\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}\hat{2}&\hat{3}\\\hat{4}&\hat{2}\end{pmatrix}\cdot{X}=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{4}&\hat{2}\\\hat{0}&\hat{3}&\hat{1}\end{pmatrix}.

Raspuns:

{X}=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{2}&\hat{3}\\\hat{3}&\hat{0}&\hat{2}\end{pmatrix}.{X}=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{2}&\hat{3}\\\hat{3}&\hat{0}&\hat{2}\end{pmatrix}.

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 5

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan