Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»CLASE DE RESTURI modulo n

O mulţime specială de obiecte matematice, pe care s-au definit două operaţii

algebrice, numite adunare şi înmulţire modulo n, prezintă proprietăţi

interesante, cu multiple aplicaţii teoretice şi practice.

Ea se numeşte mulţimea claselor de resturi modulo n şi îşi are originea în

teorema împărţirii cu rest în Z.

O prezentare a aspectelor teoretice esenţiale, precum şi a unor aplicaţii

semnificative urmează în cele de mai jos:

TEORIE

Data publicarii: 19.06.2010

Teorema impartirii cu rest in multimea numerelor intregi:

Fiind dat un numar natural n, nenul, pentru orice numar intreg k exista numerele unice

q (intreg) si r (natural, mai mic decat n), astfel incat a = nq + r.

Observatii:

1) Numarul q este catul, iar r este restul impartirii numarului a la n.

2) Notatie: r = a(mod n); se citeste "a modulo n" si r se numeste

redusul modulo n al numarului a.

3) Imaginandu-ne ca impartim toate numerele intregi la n, este evident ca resturile

obtinute sunt mai mari sau egale cu 0 (in cazul multiplilor lui n), dar mai mici, cel mult

egale cu n - 1; deci exista exact n tipuri de numere intregi, care se constituie in n

submultimi, disjuncte 2 cate 2, a caror reuniune formeaza multimea Z (se spune ca

se defineste astfel o partitie a multimii numerelor intregi).

In cazul particular n = 5, se noteaza astfel:

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: TEORIE

Postat în CLASE DE RESTURI modulo n|Vezi comentarii (0)

EXEMPLUL 1

Data publicarii: 09.07.2010

Suport teoretic:

Inelul claselor de resturi modulo 6, divizori ai lui zero.

Enunt:

Sa se rezolve sistemul urmator in inelul claselor de resturi modulo 6:

$\begin{cases}\hat{2}x+\hat{2}y=\hat{4}\\\hat{4}x+y=\hat{2}\end{cases}.$ \begin{cases}\hat{2}x+\hat{2}y=\hat{4}\\\hat{4}x+y=\hat{2}\end{cases}.

Raspuns:

$\mathcal{S}=\{(\hat{0},\hat{2}),(\hat{1},\hat{4}),(\hat{2},\hat{0}),(\hat{3},\hat{2}),(\hat{4},\hat{4}),(\hat{5},\hat{0})\}.$ \mathcal{S}=\{(\hat{0},\hat{2}),(\hat{1},\hat{4}),(\hat{2},\hat{0}),(\hat{3},\hat{2}),(\hat{4},\hat{4}),(\hat{5},\hat{0})\}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXEMPLUL 1

Postat în CLASE DE RESTURI modulo n|Vezi comentarii (0)

EXEMPLUL 2

Data publicarii: 31.10.2010

Suport teoretic:

Clase de resturi modulo 5, sistem neliniar de ecuatii, corp comutativ.

Enunt:

Sa se rezolve urmatorul sistem in multimea claselor de resturi modulo 5:

$\begin{cases}\hat{3}x^2+\hat{2}y^2=\hat{0}\\\hat{4}x+y^2=\hat{1}\end{cases}.$ \begin{cases}\hat{3}x^2+\hat{2}y^2=\hat{0}\\\hat{4}x+y^2=\hat{1}\end{cases}.