Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 13 Februarie, 2012

CERCURI SI ARCE DE CERC

Cercul circumscris unui triunghi.

Se stie ca mediatoarele unui triunghi sunt concurente intr-un punct egal departat de

varfurile triunghiului; prin urmare, acest punct, notat de obicei cu O, este centrul

cercului circumscris cautat (este suficienta constructia a doua mediatoare din cele

trei). Deci:

  • Se construiesc mediatoarele a doua laturi, care se intersecteaza in O.
  • Cu varful compasului in O, se descrie cercul avand raza cat distanta de la O la unul din varfurile triunghiului; acesta este cercul cautat.

Cercul inscris intr-un triunghi:

Bisectoarele interioare ale unui triunghi sunt concurente intr-un punct aflat la aceeasi

distanta de laturi; prin urmare, acest punct, notat de obicei cu I, este centrul cercului

inscris cautat (este suficienta constructia a doua bisectoare din cele trei). Deci:

  • Se construiesc bisectoarele interioare a doua unghiuri, care se intersecteaza in I.
  • Se construieste perpendiculara din IM pe una din laturile triunghiului (M este piciorul sau).
  • Cu varful compasului in I, se construieste cercul de raza IM; acesta este cercul cautat.

Cercul exinscris unui triunghi:

Bisectoarele interioare ale unui triunghi sunt concurente intr-un punct aflat la aceeasi

distanta de laturi; prin urmare, acest punct, notat de obicei cu I, este centrul cercului

inscris cautat (este suficienta constructia a doua bisectoare din cele trei). Deci:

Se construiesc bisectoarele interioare a doua unghiuri, care se intersecteaza in I.

  • Se construieste perpendiculara din IM pe una din laturile triunghiului (M este piciorul sau).
  • Cu varful compasului in I, se construieste cercul de raza IM; acesta este cercul cautat.

Cercul exinscris unui triunghi:

Fie triunghiul oarecare ABC; se arata usor ca bisectoarea unghiului BAC si bisectoarele

unghiurilor exterioare din B si C sunt concurente, intersectia acestora fiind

centrul cercului numit exinscris, corespunzator unghiului A (tangent laturii BC si

prelungirilor celorlalte doua).

Evident, oricarui triunghi i se pot atasa 3 cercuri exinscrise (vezi desenul de mai jos).

Tangenta construita intr-un punct al unui cerc:

Fie un cerc de centru O si raza R si un punct T situat pe cerc. Sa construim tangenta in

T la cerc:

  • Construim raza OT.
  • Tangenta cautata este perpendiculara in T pe dreapta OT.

Tangentele construite dintr-un punct exterior la un cerc:

Fie cercul de centru O si raza R si un punct P, exterior cercului.

Etapele constructiei sunt:

  • Se construieste mediatoarea segmentului [OP]; fie Q mijlocul acestuia.
  • Se construieste cercul de centru Q si raza [QO], care intersecteaza cercul dat in T si T'.
  • Se construiesc dreptele PT si PT', care sunt tangentele cautate.

Arc capabil de un unghi dat:

Fie doua puncte A si B si un unghi xOy, astfel incat 0° < mas(xOy) < 180°.

Sa construim un arc de cerc, format din toate punctele din care segmentul [AB] se vede'

sub un unghi constant si congruent cu unghiul dat xOy; acest arc se numeste

arc capabil de un unghi dat.

Iata care sunt etapele acestei constructii:

  • Se construieste unghiul BAy, congruent cu unghiul xOy.
  • Se construieste perpendiculara in A pe Ay.
  • Se construieste mediatoarea segmentului [AB], care taie aceasta perpendiculara in O.
  • Se construieste cercul de centru O si raza [OA], care contine arcul capabil de unghiul xOy (arcul (AMB) ce contine toate varfurile unghiurilor inscrise avand masura egala cu mas(xOy)).

Observatii:

1) Arcul de cerc (AMB) este locul geometric al punctelor din care segmentul [AB] se vede

sub un unghi constant (aici unghiul constant este xOy).  

2) Intrucat mas(BAy) = mas(xOy) = mas(AMB), pentru orice punct M al arcului mare

(AB), deducem ca A (in mod analog si B) este punct limita al locului geometric respectiv.

3) Exista doua arce capabile de unghiul dat si avand extremitatile A si B:

ele sunt simetrice fata de dreapta AB.

4) Evident, arcul mic (AB) constituie un arc capabil de un unghi avand masura egala cu

180° - mas(xOy).


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan