Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 17 Aprilie, 2012

CERCUL TRIGONOMETRIC-teorie

Definitia cercului trigonometric (unitate):

Cercul cu centrul in originea reperului cartezian, avand raza R = 1 si pe care s-au stabilit

sensurile (de parcurs) pozitiv (invers miscarii acelor de ceasornic) si negativ, se numeste

cerc trigonometric sau cerc unitate. 

Desenul ce urmeaza este insotit de notatiile uzuale ale acestuia:

Observatii:

1) Raza cercului unitate fiind egala cu 1, deducem ca lungimea acestui cerc

este egala cu 2π.

2) Pe acest cerc, este evidentiat arcul de cerc [AM], de masura/lungime α radiani,

cu originea A si extremitatea M, considerat in sens pozitiv; arcul [AM], considerat in

sens negativ, are masura/lungimea egala cu (2π-α).

Functia de acoperire universala a cercului unitate:

Fie un numar real si arbitrar x, pe care il impartim la 2π; conform teoremei impartirii cu rest, se obtine catul unic [x/2π] (partea intreaga a numarului x/2π) si restul unic, pe care sa-l notam cu α si care indeplineste conditia cunoscuta: αЄ[0;2π).

Numarul obtinut α se poate interpreta ca fiind lungimea arcului [AM], privit in sensul pozitiv al cercului trigonometric (vezi desenul de mai sus), deci, in definitiv, fiecarui numar real si arbitrar x i se asociaza, astfel, un punct si numai unul, MЄU (situat pe cercul unitate U).

Suntem acum in masura sa definim functia

φ:R - > U, φ(x) = M,

numita functia de acoperire universala a cercului trigonometric.

Observatii:

1) Functia φ este surjectiva

(oricare ar fi punctul M, situat pe cercul unitate, exista cel putin un numar real x, astfel incat φ(x) = M).

2) Functia φ nu este injectiva

(exista numere reale diferite, cu aceeasi imagine; de exemplu: φ(π/2) = φ(5π/2) = Β).

3) Functia φ este periodica,

(perioada principalα fiind T= 2π: φ(x+2π) = φ(x), oricare ar fi x real).

Aplicatie:

Enunt:

Sa se determine toate numerele reale avand ca imagine prin functia de acoperire universala a cercului unitate, punctul de intersectie al acestuia cu bisectoarea a doua, din cadranul al patrulea.

Rezolvare:

Desenul de mai jos indica imediat ca aceste numere sunt

x = 7π/4+2kπ, unde kЄZ.

 

Intr-adevar, arcul mic [AM] are lungimea π/4, deci arcul mare [AΜ] are lungimea

2π-π/4 = 7π/4; se tine cont, apoi, de periodicitatea functiei φ.

Postat în: TRIGONOMETRIE-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

F bun

Stefan, 09.07.2014 15:11

Foarte bun site-ul, clar si concis continutul

Răspuns: 0

bine

Arhire Radu, 04.06.2013 14:05

bine ca gasim si asa ceva as vrea sa mai postati asa ceva ca suntem multi care avem nevoie

Răspuns: Asta si fac de circa 4 ani de zile! Ma bucur pentru apreciere!

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan