Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 27 Martie, 2011

CERCUL

Lungimea cercului:

${\mathit{l}}_{cerc}={2}{\pi}{R};$ {\mathit{l}}_{cerc}={2}{\pi}{R};

Lungimea arcului de cerc:

${\mathit{l}}_{arc}=\frac{{\pi}{R}{n}^{\circ}}{{180}^{\circ}};$ {\mathit{l}}_{arc}=\frac{{\pi}{R}{n}^{\circ}}{{180}^{\circ}};

Aria suprafetei cercului:

${\mathcal{A}}_{cerc}=\pi{R}^{2};$ {\mathcal{A}}_{cerc}=\pi{R}^{2};

Aria suprafetei sectorului circular:

${\mathcal{A}}_{sect}=\frac{{\pi}{R^2}{n^\circ}}{{360}^{\circ}}=\frac{{\mathit{l}_{arc}}\cdot{R}}{2}.$ {\mathcal{A}}_{sect}=\frac{{\pi}{R^2}{n^\circ}}{{360}^{\circ}}=\frac{{\mathit{l}_{arc}}\cdot{R}}{2}.

Raza cercului circumscris unui triunghi:

$R=\frac{abc}{4S},$ R=\frac{abc}{4S},

unde a, b, c si S reprezinta lungimile laturilor, respectiv aria triunghiului.

Raza cercului inscris in triunghi:

$r=\frac{S}{p},$ r=\frac{S}{p},

unde S si p reprezinta aria, respectiv semiperimetrul triunghiului

Unghiul la centru (cu varful in centrul cercului si laturile sale raze) are

aceeasi masura cu masura arcului de cerc cuprins intre laturile sale.

Unghiul inscris (cu varful pe cerc si laturile sale coarde) are ca masura jumatate

din masura arcului cuprins intre laturile sale.

Observatie:

Unghiul format de o coarda si de tangenta intr-unul din capetele coardei este caz

limita al unghiului inscris.

Unghi cu varful in interiorul cercului (cu varful in interiorul cercului si laturile sale

coarde) are ca masura semisuma masurilor arcelor cuprinse intre laturi).

Observatie:

Daca varful este chiar centrul cercului, unghiul respectiv este unghi la centru.

Unghi cu varful in exteriorul cercului ( cu varful in exteriorul cercului si laturile sale

secante la cerc) are ca masura semidiferenta pozitiva dintre masurile arcelor cuprinse

intre laturile sale.

Observatie:

Unghiul format de o tangenta si o secanta, cu varful in exteriorul cercului, este un caz

limita, cele doua arce fiind alaturate.

Cercul lui Euler:

Fie un triunghi oarecare ABC, in care:

A', B', C' sunt picioarele inaltimilor, care sunt concurente in H (ortocentrul triunghiului);
A", B", C" sunt mijloacele laturilor;
A1, B1, C1 sunt mijloacele segmentelor AH, BH, CH.

Cele 9 puncte definite mai sus sunt conciclice

(apartin unui cerc, numit cercul lui Euler sau cercul celor 9 puncte).