Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»APLICATII ALE INTEGRALEI DEFINITE

În cazul unei funcţii f, continuă şi nenegativă pe un interval [a,b], calculul integral oferă "reţete" precise pentru a evalua:

Aria suprafeţei plane, delimitată de graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = a şi x = b,
Volumul corpului de rotaţie, obţinut prin rotirea subgraficului funcţiei f în jurul axei Ox,
Lungimea arcului de curbă, definit de funcţia f derivabilă, cu derivata continuă, pe un interval [a,b],
Aria suprafeţei de rotaţie, obţinută prin rotirea graficului funcţiei f în jurul axei Ox,
Coordonatele centrului de greutate al plăcii omogene, delimitată de graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = a şi x = b.

TEORIE

Data publicarii: 23.07.2010

Aria domeniului plan (cuprins între curbele reprezentative ale graficelor funcţiilor

continue f şi g şi dreptele de ecuaţii x = a şi x = b):

$\mathcal{A}({\Gamma}_{f,g})=\int_{a}^{b}{|f(x)-g(x)|}{dx}.$ \mathcal{A}({\Gamma}_{f,g})=\int_{a}^{b}{|f(x)-g(x)|}{dx}.

Caz particular:

${g(x)=0}\Rightarrow{\mathcal{A}({\Gamma}_{f})=\int_{a}^{b}{|f(x)|}{dx}}$ {g(x)=0}\Rightarrow{\mathcal{A}({\Gamma}_{f})=\int_{a}^{b}{|f(x)|}{dx}}

(aria domeniului plan cuprins intre curba reprezentativa a functiei f, axa absciselor si

dreptele de ecuatii x = a si x = b);

Volumul corpului de rotaţie (generat prin rotaţia completă a subgraficului funcţiei

continue f, definita pe [a,b] si cu valori in multimea numerelor reale nenegative, in

jurul axei absciselor):

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: TEORIE

Postat în APLICATII ALE INTEGRALEI DEFINITE|Vezi comentarii (0)

EXEMPLUL 1

Data publicarii: 28.08.2010

Suport teoretic:

Aria unei suprafete de rotatie, graficul unei functii, calculul unei integrale definite, metoda schimbarii de variabila.

Enunt:

Sa se afle aria suprafetei de rotatie generata prin rotatia in jurul axei absciselor a arcului de curba delimitat de dreptele x = 2 si x = 6 pe graficul functiei

$f;[0,+\infty)\rightarrow{\mathbb{R}},\;f(x)=\sqrt{x}.$ f;[0,+\infty)\rightarrow{\mathbb{R}},\;f(x)=\sqrt{x}.

Raspuns:

$\mathcal{A}=\frac{49\pi}{3}.$ \mathcal{A}=\frac{49\pi}{3}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXEMPLUL 1

Postat în APLICATII ALE INTEGRALEI DEFINITE|Vezi comentarii (0)

EXEMPLUL 2

Data publicarii: 09.11.2010

Suport teoretic:

Limita unui sir calculata cu ajutorul integralei definite, suma Riemann, metoda integrarii prin parti.

Enunt:

Sa se calculeze limita L a sirului avand termenul general:

$a_n=\frac{1}{n^2}{arctg}(\frac{1}{n})+\frac{2}{n^2}{arctg}(\frac{2}{n})+\cdots+\frac{n}{n^2}{arctg}(\frac{n}{n}),\;{n}\ge{1}.$ a_n=\frac{1}{n^2}{arctg}(\frac{1}{n})+\frac{2}{n^2}{arctg}(\frac{2}{n})+\cdots+\frac{n}{n^2}{arctg}(\frac{n}{n}),\;{n}\ge{1}.