Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 10 Iulie, 2011

ANALIZA-31

Suport teoretic:

Integrala definita, variatia unei functii, teorema de medie, limite de siruri, teorema clestelui.

Enunt:

Sa se calculeze urmatoarea limita:

$L=lim_{n\rightarrow{\infty}}{(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{sinx}{x}}{dx})}^n.$ L=lim_{n\rightarrow{\infty}}{(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{sinx}{x}}{dx})}^n.

Raspuns:

L = 0.

Rezolvare:

Intrucat integrala nu poate fi calculata prin metode elementare

(vezi Observatie aici), procedam astfel:

Fie functia f:[π/6;π/3] - > R, f(x) = sinx/x, a carei derivata este

f'(x) = (cosx/x²)(x - tgx); se arata ca f(x) < 0 pe tot domeniul sau de definitie, de

unde rezulta ca

${\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}}\le{f(x)}\le{\frac{3}{\pi}},\;\forall{x}\in{[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}]}.$ {\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}}\le{f(x)}\le{\frac{3}{\pi}},\;\forall{x}\in{[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}]}.

Folosind teorema de medie, dupa cateva calcule elementare, rezulta ca:

${{(\frac{\sqrt{3}}{4})}^n}$ {{(\frac{\sqrt{3}}{4})}^n} $\le$ \le ${(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{sinx}{x}}{dx})}^n$ {(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{sinx}{x}}{dx})}^n $\le$ \le ${(\frac{1}{2})}^n.$ {(\frac{1}{2})}^n.