Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 14 Aprilie, 2011

Suport teoretic:

Functii polinomiale, radacinile reale ale unei ecuatii algebrice, sirul lui Rolle.

Enunt:

Fie functia polinomiala f:R - > R, definita prin legea

f(x) = 2x³ - 3x² - 12x + 6m,

unde m este un parametru real.

Sa se afle m intreg, astfel incat ecuatia algebrica f(x) = 0 sa aiba toate radacinile

reale.

Raspuns:

m € {- 1, 0, 1, 2, 3}.

Rezolvare:

Se calculeaza punctele critice ale functiei f, apoi valorile functiei f in punctele critice si

limitele functiei f la - oo si + oo, dupa care se impune ca sirul lui Rolle sa contina trei

variatii de semn.

Zerourile derivatei f'(x) = 6x² - 6x -12 (punctele critice) sunt - 1 si 2, iar sirul lui Rolle

devine:

- , sign(f(- 1)), sign(f(2)), +,

adica:

- , sign(6m + 7), sign(6m - 20), +.

Pentru a obtine variatiile de semn necesare, trebuie ca 6m + 7 > 0 si 6m - 20 < 0;

de aici rezulta - 7/6 < m < 10/3 si, cum m este intreg, rezulta solutia.

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.