Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»INELE SI CORPURI

Sunt prezentate succint, în acest capitol, structurile algebrice de inel şi corp,

cu proprietăţile esenţiale ale acestora, având menirea de a sistematiza

cunoştinţele despre diferitele mulţimi de obiecte matematice studiate: mulţimi

de numere (naturale, întregi, raţionale, reale şi complexe), mulţimi de clase

de resturi modulo n, mulţimi de polinoame, mulţimi de matrice, mulţimi de

funcţii, mulţimi de permutări, mulţimi de vectori, mulţimi de transformări

geometrice (rotaţii, translaţii, simetrii, omotetii etc.) etc.

TEORIE

Data publicarii: 13.01.2009

Inel:

Fie o multime nevida A, inzestrata cu doua legi de compozitie interna

(peste tot definite, adica multimea A este stabila faţă de cele două legi);

tripletul $(A,\oplus,\otimes)$ (A,\oplus,\otimes) se numeşte inel, în cazul când:

a) Cuplul $(A ,\oplus)$ (A ,\oplus) este grup abelian;

b) Cuplul $(A ,\otimes)$ (A ,\otimes) este monoid;

c) Legea $\otimes$ \otimes este distributivă bilateral, faţă de legea $\oplus.$ \oplus.

Dacă legea $\otimes$ \otimes este comutativă, atunci inelul este comutativ.

Observatie:

Elementele simetrizabile faţă de legea $\otimes$ \otimes se numesc unităţile inelului.

Domeniu de integritate (inel integru):

Inel comutativ, $(A,\oplus,\otimes),$ (A,\oplus,\otimes), cu cel putin doua elemente si fara divizori

ai lui zero, adica $\forall{x,y}\neq{0}\Rightarrow{x}\otimes{y}\neq{0},$ \forall{x,y}\neq{0}\Rightarrow{x}\otimes{y}\neq{0},

unde 0 reprezinta elementul neutru fata de legea $\oplus.$ \oplus.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: TEORIE

Postat în INELE SI CORPURI|Vezi comentarii (2)

EXEMPLUL 1

Data publicarii: 22.08.2010

Suport teoretic:

Legi de compozitie, grup abelian, monoid comutativ, inel comutativ, divizori ai lui zero, inel integru.

Enunt:

Sa se afle numerele intregi a si b, astfel incat tripletul

${(\mathbb{Z},\oplus,\otimes)},\;unde \;{x}\oplus{y}=x+y+a\;si\;{x}\otimes{y}=xy+bx+by+a,\;\forall{x,y}\in{\mathbb{Z}},$ {(\mathbb{Z},\oplus,\otimes)},\;unde \;{x}\oplus{y}=x+y+a\;si\;{x}\otimes{y}=xy+bx+by+a,\;\forall{x,y}\in{\mathbb{Z}},

sa fie inel integru (inel comutativ cu cel putin 2 elemente, fara divizori ai lui zero).

Raspuns:

a = b = 0, sau a = b = 2.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXEMPLUL 1

Postat în INELE SI CORPURI|Vezi comentarii (0)

EXEMPLUL 2

Data publicarii: 28.10.2010

Suport teoretic:

Sistem liniar de ecuatii cu coeficienti in inelul claselor de resturi modulo 4, divizori ai lui zero, determinant de ordinul 3, matrice degenerata, regula lui Cramer, metoda substitutiei, metoda reducerii, sistem compatibil nedeterminat.

Enunt:

Sa se rezolve urmatorul sistem in inelul claselor de resturi modulo 4:

$\begin{cases}x+2\hat{y}+z=\hat{0}\\\hat{2}x+y+z=\hat{3}\\x+y+\hat{2}z=\hat{1}\end{cases}.$ \begin{cases}x+2\hat{y}+z=\hat{0}\\\hat{2}x+y+z=\hat{3}\\x+y+\hat{2}z=\hat{1}\end{cases}.

Raspuns:

$\mathcal{S}=\{(\hat{3},\hat{1},\hat{0}),(\hat{0},\hat{1},\hat{2}),(\hat{1},\hat{2},\hat{3}),(\hat{2},\hat{3},\hat{0})\}.$ \mathcal{S}=\{(\hat{3},\hat{1},\hat{0}),(\hat{0},\hat{1},\hat{2}),(\hat{1},\hat{2},\hat{3}),(\hat{2},\hat{3},\hat{0})\}.