Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»GRUPURI

Numeroasele similitudini între proprietăţile operaţiilor cu numere complexe,
vectori, matrice, polinoame etc au constituit punctul de plecare în
construcţia unei teorii unitare, de nivel superior, care înglobeaza mulţimi de
obiecte matematice, înzestrate cu proprietăţi comune, faţă de operaţii
definite în mod abstract.
Astfel a luat naştere teoria structurilor algebrice, care, pornind de la noţiunea
de lege de compoziţie (operaţie algebrică), sistematizează şi simplifică enorm
studiul numeroaselor mulţimi de obiecte matematice cum ar fi numerele
complexe (naturale, întregi, raţionale, reale, complexe nereale), vectorii,
transformările geometrice (simetrii, rotaţii etc), permutările, matricele,
polinoamele, funcţiile continue etc.
In cele ce urmează, sunt prezentate cunoştinţe esenţiale despre noţiunea de
grup, pe baza căreia se definesc celelalte structuri algebrice.

3) APLICATIA-2

Data publicării : 20.06.2010

GRUPUL LUI KLEIN:

Este un grup finit remarcabil, de ordinul al 4-lea, ale carui elemente sunt transformari

geometrice ale planului $\mathcal{P}$ \mathcal{P} raportat la un reper ortogonal xOy

(simetrii fata de axele si originea reperului), iar legea de compozitie este compunerea

acestora.

Fie, deci, multimea

$\mathcal{K}=\{i,s_x,s_y,s_o\}\;si\;\circ$ \mathcal{K}=\{i,s_x,s_y,s_o\}\;si\;\circ

simbolul operatiei de compunere, unde:

$i:\mathcal{P}\rightarrow\mathcal{P},\;i(M(x,y))=M(x,y),\;(aplicatia\;identica\;a\;planului,$ i:\mathcal{P}\rightarrow\mathcal{P},\;i(M(x,y))=M(x,y),\;(aplicatia\;identica\;a\;planului,
$s_x:\mathcal{P}\rightarrow\mathcal{P},\;s_x(M(x,y))=M^{$ s_x:\mathcal{P}\rightarrow\mathcal{P},\;s_x(M(x,y))=M^{'}(x,-y),\;(simetria\;in\;raport\;cu\;Ox),
$s_y:\mathcal{P}\rightarrow\mathcal{P},\;s_y(M(x,y))=M^{$ s_y:\mathcal{P}\rightarrow\mathcal{P},\;s_y(M(x,y))=M^{''}(-x,y),\;(simetria\;in\;raport\;cu\;Oy),
$s_o:\mathcal{P}\rightarrow\mathcal{P},\;s_o(M(x,y))=M{$ s_o:\mathcal{P}\rightarrow\mathcal{P},\;s_o(M(x,y))=M{'''}(-x,-y),\;(simetria\;in\;raport\;cu\;O).

Sa aratam, folosind tabla lui Caylay, ca perechea

$(\mathcal{K},\circ)$ (\mathcal{K},\circ)

este un grup abelian (numit grupul lui Klein).

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: 3) APLICATIA-2

Postat în GRUPURI|Vezi comentarii (0)

2) APLICATIA-1

Data publicării : 20.06.2010

CLASE DE RESTURI modulo n.

In multimea claselor de resturi modulo n se definesc operatiile de:

1) Adunare:

$\hat{a}+\hat{b}=\widehat{(a+b)(mod\; n)},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}_n}$ \hat{a}+\hat{b}=\widehat{(a+b)(mod\; n)},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}_n}

2) Inmultire:

${\hat{a}}\cdot{\hat{b}}=\widehat{({a}\cdot{b})(mod\; n)},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}_n}.$ {\hat{a}}\cdot{\hat{b}}=\widehat{({a}\cdot{b})(mod\; n)},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}_n}.

Exemple:

Sa cercetam, cu ajutorul tablelor acestor legi (numite si tablele lui Caylay), daca

urmatoarele cupluri formeaza grupuri:

$(\mathbb{Z}_5,+),\; (\mathbb{Z}_7^*,\cdot)\;si\;(\mathbb{Z}_4^*,\cdot).$ (\mathbb{Z}_5,+),\; (\mathbb{Z}_7^*,\cdot)\;si\;(\mathbb{Z}_4^*,\cdot).

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: 2) APLICATIA-1

Postat în GRUPURI|Vezi comentarii (0)

1) TEORIE

Data publicării : 12.01.2009

Definitie:

Perechea (M,*), unde M este o multime nevida, pe care s-a definit o lege de

compozitie *, asociativa si care este dotata cu element neutru, se numeste monoid.

Daca, in plus, legea este comutativa, atunci monoidul se numeste comutativ sau

abelian.

Exemplu: multimea matricelor patratice, inzestrata cu operatia de inmultire este

monoid necomutativ.

Definitie:

Fie o multime nevida G, inzestrata cu o lege de compozitie interna (peste tot definita), notata $\circ.$ \circ.

Daca:

a) Legea $\circ$ \circ este asociativă:

$({x}\circ{y})\circ{z}={x}\circ({y}\circ{z}),$ ({x}\circ{y})\circ{z}={x}\circ({y}\circ{z}), $\forall{x,y,z}\in{G},$ \forall{x,y,z}\in{G},

b) Există element neutru:

$\exists{e}\in{G},\;astfel\; incat$ \exists{e}\in{G},\;astfel\; incat ${x}\circ{e}={e}\circ{x}=x, \forall{x}\in{G},$ {x}\circ{e}={e}\circ{x}=x, \forall{x}\in{G},

c) Toate elementele din G sunt simetrizabile:

$\forall{x}\in{G},\;\exists{x$ \forall{x}\in{G},\;\exists{x'}\in{G}, $astfel\; incat\;{x}\circ{x$ astfel\; incat\;{x}\circ{x'}={x'}\circ{x}={e},

atunci spunem că perechea $(G,\circ)$ (G,\circ) formează o structură de grup.

Dacă, în plus, legea este comutativă, atunci cuplul $(G,\circ)$ (G,\circ) se numeşte grup

comutativ sau abelian.

Exemplu: multimea numerelor intregi, inzestrata cu operatia de adunare uzuala, este

grup abelian.

Definitie:

$Fie\;{(G,\circ)}\;un\; grup\; si\;H\;o\; submultime\; nevida\; a\; multimii\;G;$ Fie\;{(G,\circ)}\;un\; grup\; si\;H\;o\; submultime\; nevida\; a\; multimii\;G;

$cuplul\;{(H,\circ)}\;se\; numeste\;subgrup\;al\;grupului\;{(G,\circ)},$ cuplul\;{(H,\circ)}\;se\; numeste\;subgrup\;al\;grupului\;{(G,\circ)},

$daca\; perechea\;{(H,\circ)}\;este\; grup.\;Notatie:\;{H}\leq{G}.$ daca\; perechea\;{(H,\circ)}\;este\; grup.\;Notatie:\;{H}\leq{G}.

Exemplu: grupul radacinilor de ordinul n ale unitatii este subgrup al grupului numerelor

complexe nenule fata de operatia de inmultire uzuala.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: 1) TEORIE

Postat în GRUPURI|Vezi comentarii (1)

LE FRANCAIS

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

3) APLICATIA-2

2) APLICATIA-1

1) TEORIE

Selectează acest link pentru a mă contacta prin YAHOO MESSENGER !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului