Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 01 Septembrie, 2010

Suport teoretic:

Tangenta si normala la o curba, proiectie ortogonala, focarul parabolei, panta unei drepte, aria patratului.

Enunt:

Sa se demonstreze ca tangentele si normalele in punctele de pe parabola de ecuatie

y² = 2px, p > 0, care se proiecteaza ortogonal pe axa Ox in focar, formeaza un patrat.

Sa se afle aria acestui patrat.

Raspuns:

A = 2p².

Rezolvare:

Fie focarul F(p / 2; 0), (p > 0 este parametrul parabolei) si B(p / 2; p),

respectiv D(p / 2; - p) punctele de pe parabola, care se proiecteaza ortogonal in focar.

Tangenta in B are ecuatia de forma

yyB = p(x + xB),

care, dupa cateva calcule, devine: 2x - 2y + p = 0. (d)

Normala in B are ecuatia de forma:

y - yB = m(x - xB),

unde m reprezinta panta acesteia, inversa si de semn schimbat fata de panta

tangentei in B (datorita ortogonalitatii), adica:

m = - (1 / md) = - 1.

Deducem ca ecuatia normalei este: 2x + 2y - 3p = 0. (d')

Fie A intersectia axei absciselor cu normala (d'); rezulta A(3p / 2; 0).

Analog, fie C intersectia axei absciselor cu tangenta (d); rezulta C(- p/2; 0).

Situatie similara relativ la punctul D, datorita simetriei parabolei fata de axa Ox.

Se arata relativ usor ca patrulaterul ABCD este patrat cu aria egala cu 2p².

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.