Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 27 Martie, 2011

4) CERCUL

Lungimea cercului:

{\mathit{l}}_{cerc}={2}{\pi}{R};{\mathit{l}}_{cerc}={2}{\pi}{R};

Lungimea arcului de cerc:

{\mathit{l}}_{arc}=\frac{{\pi}{R}{n}^{\circ}}{{180}^{\circ}}=R\alpha,{\mathit{l}}_{arc}=\frac{{\pi}{R}{n}^{\circ}}{{180}^{\circ}}=R\alpha,

unde α  reprezinta masura in radiani a unghiului la centru. 

Aria suprafetei discului:

{\mathcal{A}}_{disc}=\pi{R}^{2};{\mathcal{A}}_{disc}=\pi{R}^{2};

Aria suprafetei sectorului circular:

{\mathcal{A}}_{sector}=\frac{{\pi}{R^2}{n^\circ}}{{360}^{\circ}}=\frac{{\mathit{l}_{arc}}\cdot{R}}{2}.{\mathcal{A}}_{sector}=\frac{{\pi}{R^2}{n^\circ}}{{360}^{\circ}}=\frac{{\mathit{l}_{arc}}\cdot{R}}{2}.

Raza cercului circumscris unui triunghi:

R=\frac{abc}{4S},R=\frac{abc}{4S},

unde a, b, c si S reprezinta lungimile laturilor, respectiv aria triunghiului.

Raza cercului inscris in triunghi:

r=\frac{S}{p},r=\frac{S}{p},

unde S si p reprezinta aria, respectiv semiperimetrul triunghiului.

Razele cercurilor exinscrise:

r_a=\frac{S}{p-a},\;r_b=\frac{S}{p-b},\;r_c=\frac{S}{p-c}.r_a=\frac{S}{p-a},\;r_b=\frac{S}{p-b},\;r_c=\frac{S}{p-c}.

Unghiul la centru 

(cu varful in centrul cercului si laturile sale raze) are aceeasi masura cu masura arcului

de cerc cuprins intre laturile sale.

Unghiul inscris

(cu varful pe cerc si laturile sale coarde) are ca masura jumatate din masura arcului

cuprins intre laturile sale.

Observatie:

Unghiul format de o coarda si de tangenta intr-unul din capetele coardei este caz limita 

al unghiului inscris.

Unghi cu varful in interiorul cercului

(cu varful in interiorul cercului si laturile sale coarde) are ca masura semisuma masurilor

arcelor cuprinse intre laturi).

Observatie:

Daca varful coincide cu centrul cercului, unghiul respectiv este unghi la centru.

Unghi cu varful in exteriorul cercului

(cu varful in exteriorul cercului si laturile sale secante la cerc) are ca masura

semidiferenta pozitiva dintre masurile arcelor cuprinse intre laturile sale.

Observatie:

Unghiul format de o tangenta si o secanta, cu varful in exteriorul cercului, este un

caz limita, cele doua arce fiind alaturate.

Cercul lui Euler:

Fie un triunghi oarecare ABC, in care:

  • A', B', C' sunt picioarele inaltimilor, care sunt concurente in H (ortocentrul triunghiului);
  • A", B", C" sunt mijloacele laturilor;
  • A1, B1, C1 sunt mijloacele segmentelor AH, BH, CH.

Cele 9 puncte definite mai sus sunt conciclice

(apartin unui cerc, numit cercul lui Euler sau cercul celor 9 puncte).

Relatia lui Euler:

In triunghiul oarecare ABC, in care:

  • O este centrul cercului circumscris,
  • I este centrul cercului inscris,
  • R este raza cercului circumscris,
  • r este raza cercului inscris,

are loc relatia (Euler): OI² = R² - 2Rr.

Consecinta:

In orice triunghi, raza cercului circumscris este mai mare, cel mult egala, fata de

diametrul cercului inscris:

R\ge{2r}R\ge{2r}

(R = 2r in cazul particular al triunghiului echilateral).

Dreapta lui Simson:

Fie triunghiul oarecare ABC si un punct arbitrar M situat pe cercul circumscris acestuia.

Proiectiile punctului M pe dreptele AB, BC si CA sunt coliniare

(dreapta respectiva se numeste dreapta lui Simson a punctului M in raport cu triunghiul ABC).


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Elevatie Arc Terra

luXferMetic, 10.11.2017 10:13

Va salut cu stima. Exista o intrebare importanta la care vreau un raspuns simplu, dar mai ales comprehensiv. Avem diametrul Terrei = 40 000 km. 1 a) La ce distanta trebuie sa fie un observator O* (H=2m) de un munte de H=2km, astfel incat sa vada muntele (doar) de la jumatatea lui -in sus. b) Cat orizont (D=x?) vedem in jurul nostru de la nivelul marii. *=Ochila din basmele noastre (cu zoom infinit :) )

Răspuns: Foarte frumoase probleme practice !!! Voi prezenta curand aici (cu link-ul de rigoare) rezolvarile sub forma generalizata . Observatie: Raza medie a Terrei are aproximativ 6 368 Km, deci diametrul nu are 40 000 Km ! Atat este lungimea medie a unui meridian ! Rezolvarile sunt aici : http://www.profesoronline.ro/problema_4_11.htm?axBA2064xABdxBA4338xABbxBAartDetxABnxBA1

MULTUMESC

Silviu, 01.05.2017 19:15

ESTE UN MATERIAL EXCELENT! MERITA VIZUALIZAT, DEOARECE SUNT FOARTE MULTI COPII CU DIFICULTATI DE INVATARE! Recomand cu TOATA INCREDEREA!

Foarte bun

***fara nume***, 15.03.2017 22:08

Ma ajuta f mult pt maine la simulare Multumesc

Raportul dintre aria triunghiului echilateral si aria discului

Alex, 09.02.2017 13:43

Raspuns plz

Răspuns: Care disc ????

Unghi cu varful in exteriorul cercului

Alexandru, 25.09.2016 15:56

Stiu teorema despre unghiul cu varful in exteriorul cercului insa cum as putea sa o demonstrez?Ceva ajutor

Răspuns: Se folosesc: suma masurilor unghiurilor unui triunghi si masura unui unghi exterior.

Lungimea suprafe?elor dintre triunghi si cerc

Nico, 24.09.2016 20:14

Este un triunghi echilateral,egal cu numarul 3,acesta este in interiorul unui cerc.Problema este ca nu stiu sa aflu suprafata ramasa dintre laturile triunghiului si linia cercului ,ajutorrr,daca se poate si aria suprafe?elor!!

Răspuns: Pentru arii cauta aici: http://www.profesoronline.ro/5_arii/

cercuri suprapuse

denis, 25.06.2016 19:37

Incerc de cateva ceasuri sa gasesc o modalitate prin care sa calculez aria comuna a doua cercuri care se suprapun. Cercurile au aceeasi raza si vreau sa calculez suprafata comuna incepand de la zero (cercurile sunt tangente) pana la aria cercului (cercurile se suprapun complet) Este cumva vreo formula de calcul pentru asta? Va multumesc mult!

Răspuns: Vezi raspunsul detaliat aici: http://www.profesoronline.ro/problema_4_9.htm?axBA2064xABdxBA4269xABbxBAartDetxABnxBA1

Raza arculuu de cerc

Johnny, 24.06.2016 09:25

Sunt foarte foarte multi ani de cand am terminat scoala si chiar daca am fost destul de bun la mate acum m-am lovit de o problema. ???? Daca se stiu lungimea arcului de cerc si lungimea corzii, se poate calcula raza cercului din care segmentul face parte? Va multumesc anticipat de raspuns!!

Răspuns: Din x = (pi)Rn/180 si y = 2Rsin(n/2) rezulta imediat x/y = (pi)n/180sin(n/2). Cateva "manevre" conduc la ecuatia t/sint = m, unde t = n/2, si m = 90x/(pi)y (numar cunoscut). Ecuatia cu pricina este transcendenta, iar rezolvarea ei nu se poate realiza "cu mâna" ... E nevoie de un program pe care un IT-ist il poate concepe si care sa fie rulat pe un calculator... (Sa se afle t real, astfel incat functia f(t) = t/sint, unde t > 0, sa ia valoarea m). In acest fel se obtine t, deci n, apoi R... De vazut si aici: http://www.profesoronline.ro/problema_4_10.htm?axBA2064xABdxBA4272xABbxBAartDetxABnxBA1

mate

whis, 11.06.2014 18:56

Pe mine ma omoara ! :)) Maine voi fi ascultat!.

Răspuns: :)) Multa bafta! Sper sa ramai in viata! :))

Nush

EuvsTu, 04.06.2014 10:30

Sunt bune,poate iau 10 la testul de mate,de maine :))

Răspuns: 0

mate

mate(dydy), 03.06.2013 22:05

mi se par foarte tari aceste saituri educationale dar,acesta este prea mult in sensul ca trebuia spuse mai clar dar este OK.

Răspuns: 0

mate

vlad, 22.04.2013 20:43

imi place foarte tare ce a fost postat pe acest sait

Răspuns: 0

ec

Maria, 13.04.2013 21:55

Si care-i formula pentru raza cercului inscris si circumscris unui triunghi echilateral?

Răspuns: Nu cred ca este nevoie sa stii pe de rost aceste formule...Ele se pot reconstitui fie prin calcul direct, fie prin particularizarea formulelor generale, tinand cont ca triunghiul este echilateral,

mate

daian, 22.03.2013 14:58

mate ne omoara pe toti

Răspuns: Ei, nu chiar pe toti ! ;))

maaa

adyy, 15.05.2012 16:40

foarte tare

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan