Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 23 Decembrie, 2012

2) ECUATII DE GRADUL AL DOILEA - teorie

Definitie: 

O egalitate de forma ax² + bx + c = 0, unde a, b si c sunt numere reale, iar a nenul,

se numeste ecuatie de gradul al doilea. 

Numerele a, b, c poarta numele de coeficientii ecuatiei, x este necunoscuta ecuatiei,

numarul Δ = b² - 4ac se numeste discriminantul ecuatiei; dupa semnul acestuia,

distingem cazurile:

1) Δ > 0 = > ecuatia are 2 radacini reale si distincte, anume:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.

2) Δ = 0 = > ecuatia are 2 radacini reale si egale, anume:

x_1=x_2=-\frac{b}{2a}.x_1=x_2=-\frac{b}{2a}.

3) Δ < 0 = > ecuatia nu are radacini reale.

Observatie: 

In cazul cand coeficientul b este numar natural par (b = 2b'), se verifica usor ca

radacinile reale ale ecuatiei de gradul al doilea

ax² + (2b')x + c = 0

se pot calcula, mai usor, astfel:

x_{1,2}=\frac{-b^{x_{1,2}=\frac{-b^{'}\pm\sqrt{{b^{'}}^2-ac}}{a}=\frac{-b^{'}\pm\sqrt{\Delta^{'}}}{a}.

Aceasta formula este cunoscuta sub denumirea "pe jumatate". 

Exemple:

1) x² - 3x + 2 = 0  = >  Δ = 9 - 8 = 1 > 0  = > x1 = 1, x2 = 2 .

2) x² + 4x + 4 = 0 = >  Δ = 0                   = > x1 = x2  = -2 .

3) 2x - x + 3 = 0   = > Δ = -23 < 0           = > ecuatia nu are radacini reale .

4) x² - 12x + 35 = 0  = >   x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36-35}}{1}x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36-35}}{1} = > x1 = 5, x2 = 7 .

Relatiile lui Viète:

S = x1 + x2 = -b/a,

P = x1 · x2 = c/a.

Exemplu:

Avand ecuatia x² + x - 6 = 0, suma radacinilor sale (reale) este

S = - b/a = -1/1 = -1, iar produsul este P = c/a = -6/1 = -6.

Intr-adevar, radacinile sunt -3 si 2, deci 

S = (-3) + 2 = -1 si P = (-3)·2 = - 6.

Exercitiu:

Sa se afle parametrul real a, astfel incat ecuatia

3ax² - 2ax + 1 = 0

sa aiba doua radacini reale si distincte.

Rezolvare:

Mai intai, sa observam ca a = 0 nu convine, caci altminteri ecuatia devine 1 = 0,

ceea ce este fals; deci ecuatia este de gradul al doilea si discriminantul sau trebuie

sa fie  pozitiv:

Δ = 4a² - 12a > 0 < = > 4a(a - 3) > 0.

Se gaseste in final ca xЄ(-oo, 0)U(3,+oo).

Raspuns: aЄ(-oo,0)U[3,+oo).

Postat în: ECUATII-gimnaziu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

daca se poate...

alzheimer, 13.09.2017 19:00

avem: A*B=C C-6=A A+B=6 trebuie aflati A, B si C tinand cont de faptul ca NU s-a invatat inca ecuatia de gradul 2 cu o necunoscuta...

Răspuns: Presupun ca suntem in N ?! In acest caz, adunam egalitatile membru cu membru si gasim repede b(a+1) = 12. Analizam cazurile posibile si gasim a=b=3 si c=9.

a

maica varvara, 07.05.2017 18:14

multumim f.mult pt. ajutor.am suferit un accident si uitasem ecuatia de gradul ll.

Domnisoara

Sara, 29.03.2016 20:19

Buna! Am 8 Ani si am ecuatii cu necunoscuta Nu Stiu sa le fac ma poate ajuta cine va cu a este ecuati? (100-6ori. A):8-3=30:6

Răspuns: (100-6A):8-3=5 < = > (100-6A):8=8 < = > 100-6A=64 < = > 6A=100-64 < = > 6A=36 < = > A = 6. Am folosit reguli privind ordinea operatiilor si reguli pentru aflarea unui termen la adunarea, sau scaderea sau impartirea a 2 numere. Presupun ca ai invatat asa ceva la scoala.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan