Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 23 Noiembrie, 2008

2) DREAPTA

1) Diferite forme ale ecuatiei dreptei:

1) y = mx + n (ecuatia explicita a dreptei);

m reprezinta panta sau coeficientul unghiular al dreptei 

(tangenta unghiului αЄ[0;π/2)U(π/2;π), format de sensul pozitiv al axei Ox cu

dreapta respectiva, masurat in sens trigonometric, diferit de un unghi drept),

iar n reprezinta ordonata la origine

(ordonata punctului de intersectie al dreptei cu axa Oy).

2)\;\frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}} = \frac{y-{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}2)\;\frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}} = \frac{y-{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}} \Leftrightarrow\Leftrightarrow {y-{{y}_{1}}}={\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}}{y-{{y}_{1}}}={\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}} \cdot(x-{{x}_{1}})\cdot(x-{{x}_{1}}) \Leftrightarrow\Leftrightarrow \left|\begin{array}{rcl}x&y&1\\{{x}_{1}}&{{y}_{1}}&1\\{{x}_{2}}&{{y}_{2}}&1\end{array}\right| = 0\left|\begin{array}{rcl}x&y&1\\{{x}_{1}}&{{y}_{1}}&1\\{{x}_{2}}&{{y}_{2}}&1\end{array}\right| = 0

(ecuatia dreptei cand se cunosc doua puncte ale ei).

3) y - yo = m·(x - xo)

(ecuatia dreptei cand se cunosc un punct si panta).

4)\;\begin{cases}x ={x}_{\circ}+t\cdot{{d}_{1}}\\y ={y}_{\circ}+t\cdot{{d}_{2}}\end{cases},t\in{\mathbb{R}}4)\;\begin{cases}x ={x}_{\circ}+t\cdot{{d}_{1}}\\y ={y}_{\circ}+t\cdot{{d}_{2}}\end{cases},t\in{\mathbb{R}}

(ecuatiile parametrice ale dreptei, cand se cunosc un punct si un vector director

\vec{d} = {({d}_{1};{d}_{2})}\vec{d} = {({d}_{1};{d}_{2})} \Leftrightarrow\Leftrightarrow \vec{d}={{d}_{1}\vec{i}} + {{d}_{2}\vec{j}}).\vec{d}={{d}_{1}\vec{i}} + {{d}_{2}\vec{j}}).

5)\;\frac{x}{a}+\frac{y}{b}-1=05)\;\frac{x}{a}+\frac{y}{b}-1=0

(ecuatia dreptei prin taieturi),

unde a si b reprezinta abscisa punctului de intersectie cu axa  Ox, respectiv ordonata

punctului de intersectie cu axa Oy, in cazul unei drepte care nu contine originea axelor.

6) ax + by + c = 0, unde a,b,c€R,  suma a² + b² nenula;

(ecuaţia generală a dreptei, sau ecuaţia implicită a dreptei).  

7) Fascicul de drepte concurente: ax+by+c+k·(a'x+b'y+c') = 0,

unde k este parametru real si

(d): ax + by+ c = 0 si (d'): a'x + b'y + c = 0 sunt

dreptele de baza ale fasciculului (concurente).

Observatie:

Intersectia dreptelor (d) si (d') se numeste varful facsciculului.

8) Fascicul de drepte paralele: ax + by + k = 0, unde a, b sunt numere reale fixate, 

cu conditia (a²+b²)0 si kЄR

2) Poziţiile relative a două drepte:

a) date prin ecuaţiile lor explicite:

y = mx + n  

si

y = m'x + n'; 

b) date prin ecuaţiile generale:

ax + by + c = 0

si

a'x + b'y + c' = 0,

b si b' nenuli;

Pantele lor sunt:

m=-{\frac{a}{b}},\;m^{m=-{\frac{a}{b}},\;m^{'}=-{\frac{a'}{b'}},

iar ordonatele la origine:

n=-{\frac{c}{b}},\;n^{n=-{\frac{c}{b}},\;n^{'}=-{\frac{c'}{b'}}:

Paralele: m = m' si n≠n';

Confundate: m = m' si n = n';

Concurente: m≠m'.

3) Unghiul a două drepte :

{tg}{\varphi}= |\frac{{{m}_{1}}-{{m}_{2}}}{1 + {{m}_{1}}\cdot{{m}_{2}}}|\Rightarrow{{d}_{1}}\bot{{d}_{2}}\Leftrightarrow{{m}_{1}}\cdot{{m}_{2}} = -1,{tg}{\varphi}= |\frac{{{m}_{1}}-{{m}_{2}}}{1 + {{m}_{1}}\cdot{{m}_{2}}}|\Rightarrow{{d}_{1}}\bot{{d}_{2}}\Leftrightarrow{{m}_{1}}\cdot{{m}_{2}} = -1,

unde m1 si msunt pantele dreptelor d1 si d2.

4) Distanta de la un punct la o dreapta:

d(M,d)=\frac{|ax_{\circ}+bx_{\circ}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}},d(M,d)=\frac{|ax_{\circ}+bx_{\circ}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}},

unde (d): ax + by + c = 0 si M(x0,y0).

5) Aria suprafetei triunghiulare [ABC], unde

A(x1 ; y1), B(x2 ; y2), C(x3 ; y3):

Aria[ABC]={\frac{1}{2}}\cdot{|\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}|}.Aria[ABC]={\frac{1}{2}}\cdot{|\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}|}.

6) Conditia de coliniaritate a 3 puncte distincte

A(x1 ; y1), B(x2 ; y2), C(x3 ; y3):

|\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}|=0.|\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}|=0.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Geometrie

navigatorul, 04.09.2009 16:12

referatul e foarte concis.Scurt si la obiect. Mi-a folosit.Va sugerez sa-l extindeti si geometria in spatiu:sfera, elipsoid etc. in eventualitatea ca as avea nrvoie de ceva din geometria lui Lobavevski(axiome, teoremele de baza) pot sa apelez la dv ?

Răspuns: Multumesc mult pentru aprecieri si ma bucur ca am fost util. Imi pare rau, proiectul meu vizeaza doar matematica din liceu (vezi titlul site-ului!).

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan