Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 29 August, 2010

EXEMPLUL 1

Suport teoretic:

Functia arcsinus, functii derivabile, derivata intai, derivata a doua, domeniu de definitie, domeniu de derivabilitate, inecuatia de gradul al doilea, intersectia a doua intervale.

Enunt:

Sa se rezolve inecuatia f'(x) + f"(x) > 0, pe domeniul maxim de definitie al functiei

data prin legea f(x) = arcsinx.

Raspuns:

$x\in{(\frac{1-\sqrt{5}}{2},1)}.$ x\in{(\frac{1-\sqrt{5}}{2},1)}.

Rezolvare:

Se calculeaza derivatele f' si f" si se obtin echivalentele:

${{f$ {{f'(x)+f"(x)}>{0}} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{x}{(1-x^2)\cdot{\sqrt{1-x^2}}}>{0}$ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{x}{(1-x^2)\cdot{\sqrt{1-x^2}}}>{0} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\frac{-x^2+x+1}{(1-x^2)\cdot{\sqrt{1-x^2}}}>{0}$ \frac{-x^2+x+1}{(1-x^2)\cdot{\sqrt{1-x^2}}}>{0} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow ${-x^2+x+1}>{0}$ {-x^2+x+1}>{0} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $x\in{(\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{2})}.(1)$ x\in{(\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{2})}.(1)