Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 28 August, 2010

EXEMPLUL 1

Suport teoretic:

Aria unei suprafete de rotatie, graficul unei functii, calculul unei integrale definite, metoda schimbarii de variabila.

Enunt:

Sa se afle aria suprafetei de rotatie generata prin rotatia in jurul axei absciselor a arcului de curba delimitat de dreptele x = 2 si x = 6 pe graficul functiei

$f;[0,+\infty)\rightarrow{\mathbb{R}},\;f(x)=\sqrt{x}.$ f;[0,+\infty)\rightarrow{\mathbb{R}},\;f(x)=\sqrt{x}.

Raspuns:

$\mathcal{A}=\frac{49\pi}{3}.$ \mathcal{A}=\frac{49\pi}{3}.

Rezolvare:

$\mathcal{A}={2\pi}\cdot{\int_{2}^{6}}{f(x)}\cdot{\sqrt{1+{f$ \mathcal{A}={2\pi}\cdot{\int_{2}^{6}}{f(x)}\cdot{\sqrt{1+{f'}^2(x)}}{dx}=\cdots={\pi}\cdot{\int_2^6}\sqrt{4x+1}{dx}.

Folosind schimbarea de variabila definita prin

$\sqrt{4x+1}=t,\;t\in[3;5],$ \sqrt{4x+1}=t,\;t\in[3;5],

se ajunge la:

$\mathcal{A}={\pi}\cdot{\int_{3}^{5}}{\frac{t^2}{2}{dx}}=\cdots=\frac{49\pi}{3}.$ \mathcal{A}={\pi}\cdot{\int_{3}^{5}}{\frac{t^2}{2}{dx}}=\cdots=\frac{49\pi}{3}.