Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 22 August, 2010

EXEMPLUL 1

Suport teoretic:

Legi de compozitie, grup abelian, monoid comutativ, inel comutativ, divizori ai lui zero, inel integru.

Enunt:

Sa se afle numerele intregi a si b, astfel incat tripletul

${(\mathbb{Z},\oplus,\otimes)},\;unde \;{x}\oplus{y}=x+y+a\;si\;{x}\otimes{y}=xy+bx+by+a,\;\forall{x,y}\in{\mathbb{Z}},$ {(\mathbb{Z},\oplus,\otimes)},\;unde \;{x}\oplus{y}=x+y+a\;si\;{x}\otimes{y}=xy+bx+by+a,\;\forall{x,y}\in{\mathbb{Z}},

sa fie inel integru (inel comutativ cu cel putin 2 elemente, fara divizori ai lui zero).

Raspuns:

a = b = 0, sau a = b = 2.

Rezolvare:

Se impune mai intai ca perechea $(\mathbb{Z},\oplus)$ (\mathbb{Z},\oplus) sa constituie grup

abelian si se obtine ca elementul neutru al acestuia este e = - a, iar

simetricul oricarui element x este x' = - 2a - x.

Din conditia ca perechea $(\mathbb{Z},\otimes)$ (\mathbb{Z},\otimes) sa fie monoid comutativ se

obtine relatia a - b² + b = 0 (asociativitate), elementul neutru al acestuia este

e' = 1 - b, iar din proprietatea de distributivitate a legii multiplicative fata de legea

aditiva rezulta a = b si ab - 2a = 0.

Finalizand, se gaseste raspunsul de mai sus.

Inexistenta divizorilor lui zero se probeaza usor, aratand ca oricare ar fi 2 elemente

nenule (diferite de elementul neutru al grupului $(\mathbb{Z},\oplus)),$ (\mathbb{Z},\oplus)),

produsul lor (compusul acestora prin legea monoidului) este nenul.

Postat în INELE SI CORPURI

Revino la categoria principală

Adăugaţi un comentariu

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

LE FRANCAIS

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

Trimite un sms şi beneficiezi de consultanţă online !

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

EXEMPLUL 1

Răspunsuri şi comentarii

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului