Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»MATRICE

Data publicarii: 21 August, 2010

EXEMPLUL 1

Suport teoretic:

Matrice permutabile, calcule cu matrice, binomul lui Newton.

Enunt:

Sa se determine numerele reale x si y, astfel incat matricele A si B sa fie permutabile

si, in acest caz:

${(A+B)}^2={3}\cdot{\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}},$ {(A+B)}^2={3}\cdot{\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}},

unde

$A=\begin{pmatrix}-1&2\\1&0\end{pmatrix},\;iar\;B=\begin{pmatrix}x&0\\0&y\end{pmatrix}.$ A=\begin{pmatrix}-1&2\\1&0\end{pmatrix},\;iar\;B=\begin{pmatrix}x&0\\0&y\end{pmatrix}.

Raspuns:

x = y = 2.

Rezolvare:

Din conditia A X B = B X A, deducem ca x = y = r, unde r este un numar real arbitrar.

Intrucat matricele A si B sunt, in acest caz, permutabile, deducem ca se poate aplica

formula binomului lui Newton si avem:

(A + B)² = A² + 2AB + B² = ... = $\begin{pmatrix}(r^2-2r+3)&(4r-2)\\(2r-1)&(r^2+2)\end{pmatrix}={3}\cdot{\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}}.$ \begin{pmatrix}(r^2-2r+3)&(4r-2)\\(2r-1)&(r^2+2)\end{pmatrix}={3}\cdot{\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}}.