Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 09 Iunie, 2010

EXERCITIUL 1

Suport teoretic:

Matrici inversabile,matrici nesingulare,matrici nedegenerate,transpusa unei matrice,matrice adjuncta,complement algebric,matrice unitate.

Enunt:

Fie matricea

A=\begin{pmatrix}1&-1&2\\2&3&0\\0&-2&1\end{pmatrix}.A=\begin{pmatrix}1&-1&2\\2&3&0\\0&-2&1\end{pmatrix}.

Sa se arate ca matricea A este inversabila si sa se calculeze inversa sa.

Raspuns:

A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1&2\\{\frac{2}{3}}&{-\frac{1}{3}}&{-\frac{4}{3}}\\{\frac{4}{3}}&{-\frac{2}{3}}&{-\frac{5}{3}}\end{pmatrix}.A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1&2\\{\frac{2}{3}}&{-\frac{1}{3}}&{-\frac{4}{3}}\\{\frac{4}{3}}&{-\frac{2}{3}}&{-\frac{5}{3}}\end{pmatrix}.

Rezolvare:

Se obtine imediat ca det(A) = -3, diferit de 0, deci matricea A este nesingulara,

prin urmare inversabila.

Transpusa sa este:

t_A=\begin{pmatrix}1&2&0\\-1&3&-2\\2&0&1\end{pmatrix}.t_A=\begin{pmatrix}1&2&0\\-1&3&-2\\2&0&1\end{pmatrix}.

Complementii algebrici sunt:

A_{11}={(-1)^{1+1}}\cdot{M_{11}}=\begin{vmatrix}3&-2\\0&1\end{vmatrix}=3.A_{11}={(-1)^{1+1}}\cdot{M_{11}}=\begin{vmatrix}3&-2\\0&1\end{vmatrix}=3.

A_{12}={(-1)^{1+2}}\cdot{M_{12}}=\begin{vmatrix}-1&-2\\2&1\end{vmatrix}=-3.A_{12}={(-1)^{1+2}}\cdot{M_{12}}=\begin{vmatrix}-1&-2\\2&1\end{vmatrix}=-3.

A_{13}={(-1)^{1+3}}\cdot{M_{13}}=\begin{vmatrix}-1&3\\2&0\end{vmatrix}=-6.A_{13}={(-1)^{1+3}}\cdot{M_{13}}=\begin{vmatrix}-1&3\\2&0\end{vmatrix}=-6.

A_{21}={(-1)^{2+1}}\cdot{M_{21}}=\begin{vmatrix}2&0\\0&1\end{vmatrix}=-2.A_{21}={(-1)^{2+1}}\cdot{M_{21}}=\begin{vmatrix}2&0\\0&1\end{vmatrix}=-2.

A_{22}={(-1)^{2+2}}\cdot{M_{22}}=\begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix}=1.A_{22}={(-1)^{2+2}}\cdot{M_{22}}=\begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix}=1.

A_{23}={(-1)^{2+3}}\cdot{M_{23}}=\begin{vmatrix}1&2\\2&0\end{vmatrix}=4.A_{23}={(-1)^{2+3}}\cdot{M_{23}}=\begin{vmatrix}1&2\\2&0\end{vmatrix}=4.

A_{31}={(-1)^{3+1}}\cdot{M_{31}}=\begin{vmatrix}2&0\\3&-2\end{vmatrix}=-4.A_{31}={(-1)^{3+1}}\cdot{M_{31}}=\begin{vmatrix}2&0\\3&-2\end{vmatrix}=-4.

A_{32}={(-1)^{3+2}}\cdot{M_{32}}=\begin{vmatrix}1&0\\-1&-2\end{vmatrix}=2.A_{32}={(-1)^{3+2}}\cdot{M_{32}}=\begin{vmatrix}1&0\\-1&-2\end{vmatrix}=2.

A_{33}={(-1)^{3+3}}\cdot{M_{33}}=\begin{vmatrix}1&2\\-1&3\end{vmatrix}=5.A_{33}={(-1)^{3+3}}\cdot{M_{33}}=\begin{vmatrix}1&2\\-1&3\end{vmatrix}=5.

Deci matricea adjuncta este:

A^*=\begin{pmatrix}3&-3&-6\\-2&1&4\\-4&2&5\end{pmatrix},A^*=\begin{pmatrix}3&-3&-6\\-2&1&4\\-4&2&5\end{pmatrix},

prin urmare inversa devine:

A^{-1}={\frac{1}{-3}}\cdot{\begin{pmatrix}3&-3&-6\\-2&1&4\\-4&2&5\end{pmatrix}},A^{-1}={\frac{1}{-3}}\cdot{\begin{pmatrix}3&-3&-6\\-2&1&4\\-4&2&5\end{pmatrix}},

adica:

A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1&2\\{\frac{2}{3}}&{-\frac{1}{3}}&{-\frac{4}{3}}\\{\frac{4}{3}}&{-\frac{2}{3}}&{-\frac{5}{3}}\end{pmatrix}.A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1&2\\{\frac{2}{3}}&{-\frac{1}{3}}&{-\frac{4}{3}}\\{\frac{4}{3}}&{-\frac{2}{3}}&{-\frac{5}{3}}\end{pmatrix}.

Observatie:

Se verifica usor ca:

{A^{-1}}\cdot{A}={A}\cdot{A^{-1}}=I_3.{A^{-1}}\cdot{A}={A}\cdot{A^{-1}}=I_3.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

invata

Ina, 28.08.2013 10:55

E foarte bine ca poti invata si acasa singur !

Răspuns: 0

ROFLMAO

lol, 15.03.2012 18:33

pfff... de la gogu' ... cum ai vrea ca cineva sa inventeze un dispozitiv sa ne facem invizibili daca toti isi doresc asta prin a trisa la mate la bac sau mai stiu eu unde. Pentru a se inventa asa ceva pun pariu ca este nevoie de foarte multa matematica etc. Asa cum majoritatea lucrurilor ( tot ce tine de electronica, constructii etc. ) sunt facute datorita matematicii :D CEAU!

Răspuns: 0

foarte buna idea!multumesc!

Cristina, 15.03.2012 11:37

chiar reusesti sa inveti ceva fara un profesor..buna treaba !

Răspuns: 0

multumesc

adelina, 29.11.2011 22:50

asa reusiti sa faceti un elev sa invete multumesc

Răspuns: Ma bucur tare ca am reusit! Si eu multumesc!

mda..

adi, 11.08.2011 15:05

invatati pentru sesiunea de toamna? Banuiesc ca nu invatati vara de drag=)))

Răspuns: 0

Genial !

Alex, 01.08.2011 17:14

Incredibil , nu reusesc sa inteleg de la meditator si reusesc de pe siteu-l vostru " EstetiTari" multumesc :D

Răspuns: 0

multumesc

Octavian, 23.07.2011 10:42

Imi cam prinsesem urechile cand am incercat sa calculez inversa .. si datoriva voua am reusit sa inteleg procedeul !

Răspuns: Ma bucur ( sunt singurul ...vinovat! ;)) ) ca am avut succes!

pfff....

gogu`, 29.06.2011 06:01

firar masa a drq lu ala care a inventat matricile , nu putea si el sa inventeze un dispozitiv sa ne facem invizibili macar o ora in viata , sa fiu si modest acuma.. ??? :((((

Răspuns: 0

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan