Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 27 Februarie, 2009

1) VECTORI IN PLAN

Formula lui Chasles:

Oricare ar fi punctele M, N si P, avem:

\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}.  

Vectori coliniari:

Doi vectori (multimi de segmente orientate echipolente) sunt coliniari daca au

aceeasi directie.

Vectori echipolenti:

Doi vectori avand aceeasi directie, acelasi sens si acelasi modul se numesc

vectori echipolenti.

Multimea vectorilor echipolenti cu un vector v dat se numeste vector liber; vectorul dat

v este un reprezentant al vectorului liber respectiv.

Vectori liniar dependenti:

Vectorii \overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\cdots,\overrightarrow{v_n}\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\cdots,\overrightarrow{v_n} se numesc liniar dependenti, daca exista scalarii

k_1,k_2,\cdots,k_n,k_1,k_2,\cdots,k_n,   nu toti nuli, astfel incat  k_1\overrightarrow{v_1}+k_2\overrightarrow{v_2}+\cdots+k_n\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{0}.k_1\overrightarrow{v_1}+k_2\overrightarrow{v_2}+\cdots+k_n\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{0}.

Vectori liniar independenti:

Vectorii \overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\cdots,\overrightarrow{v_n}\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\cdots,\overrightarrow{v_n} se numesc liniar independenti, daca are loc implicatia: 

{k_1\overrightarrow{v_1}+k_2\overrightarrow{v_2}+\cdots+k_n\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{0}}\Rightarrow{k_1=k_2=\cdots=k_n=0}.{k_1\overrightarrow{v_1}+k_2\overrightarrow{v_2}+\cdots+k_n\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{0}}\Rightarrow{k_1=k_2=\cdots=k_n=0}.

Teorema:

Vectorii \vec{a}\: si\:\vec{b}\vec{a}\: si\:\vec{b} sunt coliniari daca si numai daca exista λ€R,

astfel incat

\vec{a}={\alpha}{b},\vec{a}={\alpha}{b},

sau exista β€R, astfel incat

\vec{b}={\beta}{\vec{a}},\vec{b}={\beta}{\vec{a}},

sau exista numerele p,q€R, nu ambele nule, astfel incat

{p}{\vec{a}}+{q}{\vec{b}}=\vec{0}.{p}{\vec{a}}+{q}{\vec{b}}=\vec{0}.

Descompunerea unui vector (dupa doi vectori necoliniari):

Fiind dati doi vectori necoliniari \vec{u}\:si\:\vec{v},\vec{u}\:si\:\vec{v},  pentru orice vector

\vec{w}\vec{w} din plan exista numerele α,β€R, unic determinate, astfel incat:

\vec{w}={\alpha}{\vec{u}}+{\beta}{\vec{v}}.\vec{w}={\alpha}{\vec{u}}+{\beta}{\vec{v}}.

Daca

\vec{u}=\vec{i}\:si\:\vec{v}=\vec{j},\;unde\;\vec{i},\:\vec{j}\vec{u}=\vec{i}\:si\:\vec{v}=\vec{j},\;unde\;\vec{i},\:\vec{j}

sunt versorii axelor de coordonate (vectorii directori si unitari ai acestora), atunci

oricarui punct M(x,y) din planul raportat la sistemul ortogonal de axe Oxy ii corespunde

vectorul sau de pozitie avand expresia analitica

\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j};\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j};  

se spune ca numerele x si y reprezinta coordonatele vectorului

\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM}, in baza (\vec{i},\vec{j}).(\vec{i},\vec{j}).

Expresia analitica a unui vector: 

{\overrightarrow{AB}}={({x_B}-{x_A})}{\vec{i}}+{({y_B}-{y_A})}{\vec{j}},{\overrightarrow{AB}}={({x_B}-{x_A})}{\vec{i}}+{({y_B}-{y_A})}{\vec{j}},

unde A(xA,yA) si B(xB,yB).

Definitii si formule:

Fie planul P, in care am ales un reper cartezian xOy si M un punct

oarecare in acest plan. Vectorul \vec{r_M},\vec{r_M}, care are ca reprezentant segmentul

orientat \overline{OM},\overline{OM},  se numeste vectorul de pozitie al punctului M.

Fie \overrightarrow{AB}\overrightarrow{AB} un vector din plan; atunci:

\overrightarrow{AB}=\vec{r_B}-\vec{r_A}.\overrightarrow{AB}=\vec{r_B}-\vec{r_A}.

Fie punctele distincte A si B si numarul λ€R; spunem ca punctul M, diferit de

B, imparte segmentul orientat \overline{AB}\overline{AB} in raportul λ daca:

\overrightarrow{MA}=\lambda{\overrightarrow{MB}}.\overrightarrow{MA}=\lambda{\overrightarrow{MB}}.

Observatii:

  • Avem λ€R\{1}, caci daca λ = 1, avem

\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}, deci A = B. 

  • Pentru orice M pe dreapta AB, M diferit de B, exista λ € R\{1}, astfel incat

\overrightarrow{MA}=\lambda\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA}=\lambda\overrightarrow{MB},

anume λ = MA/MB sau λ = -MA/MB, dupa cum

\overrightarrow{MA}\:si\:\overrightarrow{MB}\overrightarrow{MA}\:si\:\overrightarrow{MB}  

au acelasi sens sau sensuri opuse; daca M = A, atunci λ = 0.

  • Pentru orice λ€R\{1}, pe dreapta AB exista un singur punct M, care imparte

\overline{AB}\overline{AB} in raportul λ; daca

\overrightarrow{MA}={\lambda}{\overrightarrow{MB}},\overrightarrow{MA}={\lambda}{\overrightarrow{MB}}, atunci

\overrightarrow{MA}=\frac{\lambda}{1-\lambda}\cdot{\overrightarrow{AB}}.\overrightarrow{MA}=\frac{\lambda}{1-\lambda}\cdot{\overrightarrow{AB}}.

Coordonatele punctului M, care imparte segmentul [AB] in raportul MA/MB=k > 0:

x_M=\frac{x_A+kx_B}{1+k},\;y_M=\frac{y_A+ky_B}{1+k};x_M=\frac{x_A+kx_B}{1+k},\;y_M=\frac{y_A+ky_B}{1+k};

in cazul particular k = 1 se obtine

\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2},\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2},

unde M este mijlocul segmentului [AB], iar O un punct arbitarar din plan; rezulta de aici:

x_M=\frac{x_A+x_B}{2},\;y_M=\frac{y_A+y_B}{2}.x_M=\frac{x_A+x_B}{2},\;y_M=\frac{y_A+y_B}{2}.

Teoreme (coliniaritatea a trei puncte):

  • Fie punctele coliniare A, B si M, unde M este diferit de B si numarul λ€R\{1}.

Daca punctul M imparte segmentul orientat \overrightarrow{AB}\overrightarrow{AB} in raportul λ,adica

\overrightarrow{MA}={\lambda}\cdot{\overrightarrow{MB}},\overrightarrow{MA}={\lambda}\cdot{\overrightarrow{MB}},

atunci, pentru orice punct O din planul de referinta, avem:

\overrightarrow{OM}={\frac{1}{1-\lambda}}\cdot{\overrightarrow{OA}}+{\frac{-\lambda}{1-\lambda}}\cdot{\overrightarrow{OB}}.\overrightarrow{OM}={\frac{1}{1-\lambda}}\cdot{\overrightarrow{OA}}+{\frac{-\lambda}{1-\lambda}}\cdot{\overrightarrow{OB}}.

  • Punctele A, B si C din planul (p) sunt coliniare daca si numai daca exista un numar 

t € R*, astfel incat

\overrightarrow{OC}=t\cdot{\overrightarrow{OA}}+(1-t)\cdot{\overrightarrow{OB}},\overrightarrow{OC}=t\cdot{\overrightarrow{OA}}+(1-t)\cdot{\overrightarrow{OB}}, oricare ar fi punctul O din planul (p).

Centrul de greutate al unui triunghi (G):

  • Punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC daca si numai daca

{\overrightarrow{GA}}+{\overrightarrow{GB}}+{\overrightarrow{GC}}={\overrightarrow{0}}.{\overrightarrow{GA}}+{\overrightarrow{GB}}+{\overrightarrow{GC}}={\overrightarrow{0}}.

  • Punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC daca si numai daca orice

punct M din plan verifica relatia

{\overrightarrow{MG}}={\frac{1}{3}}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}).{\overrightarrow{MG}}={\frac{1}{3}}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}).

  • Relatia lui Leibniz:

Oricare ar fi punctul P din planul (p) al triunghiului ABC, are loc relatia

\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=3\cdot{\overrightarrow{PG}}.\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=3\cdot{\overrightarrow{PG}}.

  • Teorema lui Pappus:

Daca punctele A', B' si C', distincte de varfurile unui triunghi ABC, apartin dreptelor

BC, CA si respectiv AB, astfel incat   \frac{\overrightarrow{A^{\frac{\overrightarrow{A^{'}B}}{\overrightarrow{A^{'}C}}=\frac{\overrightarrow{B^{'}C}}{\overrightarrow{B^{'}A}}=\frac{\overrightarrow{C^{'}A}}{\overrightarrow{C^{'}B}}=\lambda,

atunci triunghiurile ABC si A'B'C' au acelasi centru de greutate.

Teoreme (H-ortocentrul, O-centrul cercului circumscris):

  • Relatia lui Sylvester: In orice triunghi ABC are loc relatia: \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}.
  • Dreapta lui Euler: In orice triunghi ABC, punctele O, G si H sunt coliniare si are loc relatia  \overrightarrow{OH}=3\cdot{\overrightarrow{OG}}.\overrightarrow{OH}=3\cdot{\overrightarrow{OG}}. Dreapta determinata de punctele O, G si H se numeste dreapta lui Euler.

Vectorul de pozitie al unui punct ce M ce imparte segmentul [AB] in raportul

MA/MB = k > 0:

Daca un punct M imparte segmentul [AB] in raportul MA/MB = k > 0, atunci pentru

orice punct O din plan, are loc relatia vectoriala:

\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+k\cdot\overrightarrow{OB}}{1+k}.\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+k\cdot\overrightarrow{OB}}{1+k}.

Caz particular:

M este mijlocul segmentului [AB] = > k = 1 => \overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}.\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}.

Teorema:

Punctele A, B si M sunt coliniare daca si numai daca exista α,β€R, α+β = 1,

astfel incat:

\vec{r_M}={\alpha}\cdot{\vec{r_A}}+{\beta}\cdot{\vec{r_B}}.\vec{r_M}={\alpha}\cdot{\vec{r_A}}+{\beta}\cdot{\vec{r_B}}.

 

OPERATII CU VECTORI:

1) Adunarea:

  • Regula paralelogramului:

 

  •  Regula triunghiului:

  •  Regula poligonului:

 

2) Scaderea:

3) Produsul unui vector cu un scalar: 

Fiind dat un vector v si un scalar k, produsul k·v reprezinta, prin definitie,

un nou vector, cu urmatoarele insusiri:

  • Pentru k > 0, k·v are aceeasi directie si acelasi sens cu vectorul v, iar modulul acestuia este egal cu k·|v|.
  • Pentru k < 0, k·v are aceeasi directie cu v si sens opus acestuia, iar modulul sau este egal cu |k|·|v|.
  • Pentru k = 0 sau v = 0 (vectorul nul),  k·v = 0.

4) Produsul scalar a doi vectori:

Definitie:

Se numeste produsul scalar al vectorilor \vec{a}\:si\:\vec{b}\vec{a}\:si\:\vec{b}

numarul real, notat

{\vec{a}}\cdot{\vec{b}},{\vec{a}}\cdot{\vec{b}},

definit prin

{\vec{a}}\cdot{\vec{b}}={|\vec{a}|}\cdot{|\vec{b}|}\cdot{\cos{(\widehat{\vec{a},\vec{b}})}}.{\vec{a}}\cdot{\vec{b}}={|\vec{a}|}\cdot{|\vec{b}|}\cdot{\cos{(\widehat{\vec{a},\vec{b}})}}.

Daca se dau vectorii

{\vec{a}}={x_1}{\vec{i}}+{y_1}{\vec{j}}\;si\;{\vec{b}}={x_2}{\vec{i}}+{y_2}{\vec{j}},{\vec{a}}={x_1}{\vec{i}}+{y_1}{\vec{j}}\;si\;{\vec{b}}={x_2}{\vec{i}}+{y_2}{\vec{j}},

atunci:

{\vec{a}}\cdot{\vec{b}}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}{\vec{a}}\cdot{\vec{b}}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}

(produsul scalar a doi vectori este egal cu suma produselor coordonatelor celor doi

vectori).  

Modulul (norma) unui vector:

|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2},|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2},  

unde x si y sunt coordonatele vectorului

\vec{a},\;adica\;\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}.\vec{a},\;adica\;\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}.

Unghiul dintre doi vectori:

{\vec{a}}={x_1}{\vec{i}}+{y_1}{\vec{j}}\:si\:{\vec{b}}={x_2}{\vec{i}}+{y_2}{\vec{j}},{\vec{a}}={x_1}{\vec{i}}+{y_1}{\vec{j}}\:si\:{\vec{b}}={x_2}{\vec{i}}+{y_2}{\vec{j}},

care formeaza un unghi de masura φ, este dat de formula:

{cos}{\varphi}=\frac{{\vec{a}}\cdot{\vec{b}}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\frac{{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}}{{\sqrt{{x_1}^{2}+{y_1}^{2}}}\cdot{\sqrt{{x_2}^{2}+{y_2}^{2}}}}.{cos}{\varphi}=\frac{{\vec{a}}\cdot{\vec{b}}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\frac{{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}}{{\sqrt{{x_1}^{2}+{y_1}^{2}}}\cdot{\sqrt{{x_2}^{2}+{y_2}^{2}}}}.

Corolar:

Vectorii nenuli

{\vec{a}}={x_1}{\vec{i}}+{y_1}{\vec{j}}\:si\:{\vec{b}}={x_2}{\vec{i}}+{y_2}{\vec{j}}{\vec{a}}={x_1}{\vec{i}}+{y_1}{\vec{j}}\:si\:{\vec{b}}={x_2}{\vec{i}}+{y_2}{\vec{j}}  

sunt ortogonali daca si numai daca

{\vec{a}}\cdot{\vec{b}}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=0.{\vec{a}}\cdot{\vec{b}}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=0.

Postat în VECTORI-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

mate

Silviu, 02.11.2012 15:00

Va rog sa adaugati si niste exemple pentru a intelege mai bine .Va multumesc!

Răspuns: Exista 5 exercitii rezolvate mai jos...

mate

mihai, 16.05.2012 16:55

aici intelegi numai ca trebuie sa te uiti atent

multumesc

vlad, 14.02.2012 18:30

multumesc ,mi'au fost de ajutor

Răspuns: Cu multa placere! Ma bucur ca "vizita" a fost cu folos!

bravo voua

Lucian, 11.12.2011 14:15

E bun ce ati facut, va apreciez munca, dar va recomand un lucru pentru imbunatatirea site-ului. Adaugati niste exerciti cu rezolvare ca copilul care vrea sa invete trebuie sa aibe un exemplu, el se uita peste ex si urmeaza toti pasi si asa se invata mai repede, sau incearca sa rezolve problema si se corecteaza singur. Deci va recomband sa adaugati niste exerciti rezolvate. Bafta in continuare.

Răspuns: Multumesc pentru aprecieri! Cat priveste exemplele, acestea exista, chiar patru, puţin mai jos...

Foarte tare

Madalina, 22.02.2011 15:57

Tine-o tot asa!:D

Răspuns: Îmi voi da silinţa! Mulţumesc pentru apreciere!

un site BUN

PHaKer, 19.01.2011 18:28

Sunt la profilul MATE-INFO si acest site imi este de mare folos.........muktumesc!!!

Răspuns: OK, vizitează-mă cât mai des, noutăţi vor fi mereu !!!

e super site.ul

lexus, 13.01.2010 14:05

matematica inca ma urmareste si la facultate..dar de fiecare data gasesc aici ce am nevoie..multumim!

Răspuns: Mă bucur că sunt "citit" şi după bacalaureat! Succes pe mai departe!

 

Selecteaza link-ul de mai jos pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

Abonare la ultimele noutati aparute pe website !

Abonează-te (gratuit) şi vei fi anunţat(ă) în legătură cu ultimele noutăţi apărute pe site, numai după ce vei confirma aceasta opţiune in email-ul primit la adresa indicată!

 

 
Developed by Hagau Ioan