Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 06 Februarie, 2012

1) TRIUNGHIURI-gimnaziu

Relatii intre laturi si unghiuri in triunghiul oarecare ABC

(AB = c, BC = a si CA = b):

  • Latura mai mare se opune unghiului mai mare si reciproc:                                                   

a < b < c < = > mas(A) < mas(B) < mas(C).

  • Fiecare latura este mai mare decat diferenta si mai mica decat suma celorlalte doua  laturi:

b - c < a < b + c, c - a < b < c + a, a - b < c < a + b.

  • La unghiuri congruente se opun laturi congruente si reciproc:                          

mas(A)=mas(B) < = > a = b, mas(B)=mas(C) < = > b = c, mas(C)=mas(A) < = > c = a.

Linii importante in triunghi: 

  • Mediatoarea: dreapta perpendiculara pe o latura, in mijlocul acesteia. Cele 3 mediatoare sunt concurente in centrul cercului circumscris.
  • Mediana: segmentul determinat de un varf si mijlocul laturii opuse. Cele 3 mediane sunt concurente in centrul de greutate al triunghiului (numit si baricentru). Acest punct se afla situat pe fiecare mediana la 2/3 de varf si 1/3 de baza.
  • Inaltimea: segmentul determinat de un varf si piciorul perpendicularei coborate din acel varf pe latura opusa. Cele 3 inaltimi sunt concurente in ortocentrul triunghiului.
  • Bisectoarea interioara: bisectoarea unui unghi interior. Cele 3 bisectoare interioare sunt concurente in centrul cercului inscris.
  • Bisectoarea exterioara: bisectoarea unui unghi format de o latura si prelungirea altei laturi, dincolo de punctul lor comun. Intersectia a 2 bisectoare exterioare a 2 unghiuri avand varfuri distincte, sunt concurente in centrul unui cerc exinscris (evident, orice triunghi admite 3 cercuri exinscrise). 

Cazuri de congruenta pentru triunghiuri oarecare: 

Pentru ca doua triunghiuri oarecare, ABC si A'B'C', sa fie congruente, este suficient sa aiba:

I)   (AB) Ξ (A'B'), (A'C') Ξ (A'C') si mas(A) = mas(A'); (LUL) 

II)  (AB) Ξ (A'B'), mas(A) = mas(A') si mas(C) = mas(C'); (LUU)

III) (AB) Ξ (A'B'), mas(A) = mas(A') si mas(B) = mas(B'); (ULU)

IV) (AB) Ξ (A'B'), (BC) Ξ (B'C') si (CA) Ξ (C'A'); (LLL)

Cazuri de congruenta pentru triunghiuri dreptunghice: 

Pentru ca doua triunghiuri dreptunghice, ABC si A'B'C' (unde A si A' sunt unghiurile drepte), sa fie congruente, este suficient sa aiba:

I)  (AB) Ξ (A'B') si (AC) Ξ (A'C'); (CC)

II) (AB) Ξ (A'B') si mas(B) = mas(B'); (CU)

II') (AB) Ξ (A'B') si mas(C) = mas(C'); (CU)

III) (BC) Ξ (B'C') si mas(B) = mas(B'); (IU)

III') (BC) Ξ (B'C') si mas(C) = mas(C'); (IU)

IV) (AB) Ξ (A'B') si (BC) Ξ (B'C'); (CI)

IV') (AC) Ξ (A'C') si (BC) Ξ (B'C'); (CI)

Teorema lui Thales:

Direct:

Fie triunghiul ABC si D intre A si B, E intre A si C; daca DE||BC, atunci DA/DB = EA/EC.

Reciproc:

Fie triunghiul ABC si D intre A si B, E intre A si C, astfel incat

DA/DB = EA/EC, sau AD/AB = AE/AC, sau AB/DB = AC/EC,

atunci DE || BC.

Teorema fundamentala a asemanarii:

Daca in triunghiul ABC avem DE||BC, D pe AB si diferit de A, E pe AC, atunci triunghiul ADE este asemenea cu triunghiul ABC.

Cazuri de asemanare pentru triunghiuri oarecare:

Pentru ca doua triunghiuri oarecare sa fie asemenea, este suficient sa aiba:

I) m(A) = m(A') si m(B) = m(B'); (UU)

II) m(A) = m(A') si AB/A'B' = AC/A'C'; (LUL)

III) AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'; (LLL)

Teorema bisectoarei:

In orice triunghi ABC:

1) Bisectoarea unui unghi interior imparte latura opusa in segmente proportionale cu laturile care formeaza unghiul respectiv: A'B/A'C = AB/AC, unde A' este punctul de intersectie al bisectoarei unghiului interior A cu latura BC.

 

2) Bisectoarea unui unghi exterior determina pe dreapta suport a laturii opuse segmente proportionale cu laturile care formeaza unghiul respectiv: A"B/A"C = AB/AC, unde A" este punctul de intersectie al bisectoarei unghiului exterior din A cu dreapta suport a laturii BC.

 

Teorema lui Pitagora:

In orice triunghi dreptunghic, patratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma patratelor lungimilor catetelor:

BC² = AB² + AC².

Teorema catetei:

In orice triunghi dreptunghic, lungimea fiecarei catete este medie proportionala (geometrica) intre lungimea ipotenuzei si lungimea proiectiei acestei catete pe ipotenuza:

AB² = BC·BD, AC² = BC·CD,

unde AD este inaltimea coborata din varful unghiului drept A.

 

Teorema inaltimii:

In orice triunghi dreptunghic, lungimea inaltimii coborata din varful unghiului drept este medie proportionala (geometrica) intre lungimile proiectiilor catetelor pe ipotenuza:

AD² = BD·DC.

Teorema cosinusului (teorema lui Pitagora generalizata):

In orice triunghi ABC, unde BC = a, AB = c si AC = b, au loc relatiile:

  • a² = b² + c² - 2bccosA,
  • b² = c² + a² - 2cacosB,
  • c² = a² + b² - 2abcosC. 

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Inginer

Daniel, 20.09.2014 16:25

Good work

Răspuns: 0

Biana

QEUMbvAOUnNbV, 16.12.2012 13:47

That's the best answer by far! Thanks for contirbtuing.

Răspuns: 0

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan