Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 23 Iulie, 2010

TEORIE

Aria domeniului plan (cuprins între curbele reprezentative ale graficelor funcţiilor

continue f şi g şi dreptele de ecuaţii x = a şi x = b):

$\mathcal{A}({\Gamma}_{f,g})=\int_{a}^{b}{|f(x)-g(x)|}{dx}.$ \mathcal{A}({\Gamma}_{f,g})=\int_{a}^{b}{|f(x)-g(x)|}{dx}.

Caz particular:

${g(x)=0}\Rightarrow{\mathcal{A}({\Gamma}_{f})=\int_{a}^{b}{|f(x)|}{dx}}$ {g(x)=0}\Rightarrow{\mathcal{A}({\Gamma}_{f})=\int_{a}^{b}{|f(x)|}{dx}}

(aria domeniului plan cuprins intre curba reprezentativa a functiei f, axa absciselor si

dreptele de ecuatii x = a si x = b);

Volumul corpului de rotaţie (generat prin rotaţia completă a subgraficului funcţiei

continue f, definita pe [a,b] si cu valori in multimea numerelor reale nenegative, in

jurul axei absciselor):

$\mathcal{V}(C_{f})=\pi\cdot\int_{a}^{b}{f^2}{(x)}{dx};$ \mathcal{V}(C_{f})=\pi\cdot\int_{a}^{b}{f^2}{(x)}{dx};

(subgraficul functiei continue f este multimea punctelor din plan, cuprinse intre curba

reprezentativa a functiei f, axa absciselor si dreptele x = a si x = b).

Lungimea arcului de curbă (al graficului unei funcţii derivabile f definita pe [a,b] si cu

valori in R, cu derivata continua):

$\mathcal{L}(f)=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+{[f$ \mathcal{L}(f)=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+{[f'(x)]}^{2}}}{dx}.

Aria suprafeţei de rotaţie (generată prin rotaţia completă a curbei reprezentative a

funcţiei derivabile f definita pe [a,b] si cu valori in R, cu derivata continua):

$\mathcal{A}(f)=2\pi\int_{a}^{b}{f(x)}{\sqrt{1+{[f$ \mathcal{A}(f)=2\pi\int_{a}^{b}{f(x)}{\sqrt{1+{[f'(x)]}^{2}}}{dx}.

Centrul de greutate:

Coordonatele centrului de greutate G al placi omogene, determinata de curbele

reprezentative ale functiilor continue f si g definite pe [a,b] si cu valori in R, f > g si

dreptele x = a si x = b, sunt date de formulele:

$x_G=\frac{\int_{a}^{b}{x[f(x)-g(x)]}{dx}}{\int_{a}^{b}{[f(x)-g(x)]}{dx}},$ x_G=\frac{\int_{a}^{b}{x[f(x)-g(x)]}{dx}}{\int_{a}^{b}{[f(x)-g(x)]}{dx}},

$y_G={\frac{1}{2}}\cdot{\frac{\int_{a}^{b}{[{f^2}(x)-{g^2}(x)]}{dx}}{\int_{a}^{b}{[f(x)-g(x)]}{dx}}}.$ y_G={\frac{1}{2}}\cdot{\frac{\int_{a}^{b}{[{f^2}(x)-{g^2}(x)]}{dx}}{\int_{a}^{b}{[f(x)-g(x)]}{dx}}}.

Observatii:

1) Numitorul celor doua fractii reprezinta aria placii;

2) Daca f(x) > g(x) = 0 pentru orice x din [a,b], atunci placa este delimitata de curba

reprezentativa a functiei f, axa absciselor si dreptele de ecuatii x = a si x = b; in acest

caz avem:

$x_G=\frac{\int_{a}^{b}{xf(x)}{dx}}{\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}},$ x_G=\frac{\int_{a}^{b}{xf(x)}{dx}}{\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}},

$y_G={\frac{1}{2}}\cdot{\frac{\int_{a}^{b}{{f^2}(x)}{dx}}{\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}}}.$ y_G={\frac{1}{2}}\cdot{\frac{\int_{a}^{b}{{f^2}(x)}{dx}}{\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}}}.

Inegalitatea Cauchy-Schwarz:

Daca f si g sunt functii continue definite pe [a,b] si cu valori in R, atunci:

${{|\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}|}}\leq{\sqrt{\int_{a}^{b}{f^2}(x){dx}}}\cdot{\sqrt{\int_{a}^{b}{g^2}(x){dx}}}.$ {{|\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}|}}\leq{\sqrt{\int_{a}^{b}{f^2}(x){dx}}}\cdot{\sqrt{\int_{a}^{b}{g^2}(x){dx}}}.

Observatie:

Egalitatea are loc daca g = 0 si f este arbitrara, sau daca f = c·g, unde c este o

constanta reala oarecare.

Inegalitatea lui Jensen:

Daca functiile

f:I - > J si g:J - > R sunt doua functii continue, iar

g este convexa, atunci:

$a)$ a) ${g({\frac{1}{b-a}}{\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}})}\leq{\frac{1}{b-a}}\int_{a}^{b}{g(f(x))}{dx};$ {g({\frac{1}{b-a}}{\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}})}\leq{\frac{1}{b-a}}\int_{a}^{b}{g(f(x))}{dx};

g este concava, atunci:

$b)$ b) ${g({\frac{1}{b-a}}{\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}})}\geq{\frac{1}{b-a}}\int_{a}^{b}{g(f(x))}{dx}.$ {g({\frac{1}{b-a}}{\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}})}\geq{\frac{1}{b-a}}\int_{a}^{b}{g(f(x))}{dx}.

Observatie:

Egalitatea are loc in cazul cand f este constanta.

Inegalitatea lui Cebasev:

Fie functiile continue f si g, definite pe [a,b] si cu valori in R; atunci:

$(\int_{a}^{b}{f(x)}{dx})\cdot$ (\int_{a}^{b}{f(x)}{dx})\cdot $(\int_{a}^{b}{g(x)}{dx})$ (\int_{a}^{b}{g(x)}{dx}) $\leq{(b-a)\int_{a}^{b}{(fg)(x)}{dx}},$ \leq{(b-a)\int_{a}^{b}{(fg)(x)}{dx}},

(daca f si g prezinta aceeasi monotonie);

$(\int_{a}^{b}{f(x)}{dx})\cdot$ (\int_{a}^{b}{f(x)}{dx})\cdot $(\int_{a}^{b}{g(x)}{dx})$ (\int_{a}^{b}{g(x)}{dx}) $\geq$ \geq $(b-a)\int_{a}^{b}{(fg)(x)}{dx},$ (b-a)\int_{a}^{b}{(fg)(x)}{dx},