Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 21 Iulie, 2010

TEORIE

Forma canonica:

$f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0},$ f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0},

unde ak apartine multimii C, 0 < k < n - 1, an apartine multimii C*, iar an, n, ao si X

sunt, respectiv, coeficientul dominant, gradul polinomului, termenul liber si

nedeterminata polinomului f.

Definitii si proprietati:

Polinomul f = ao (numar real nenul) se numeste polinom constant si gradul

sau este egal cu zero, iar polinomul f = 0 (in care toti coeficientii sunt nuli), se

numeste polinomul nul, gradul sau fiind, prin definitie, egal cu - oo.

Un numar complex a se numeste radacina a polinomului f sau a ecuatiei algebrice

f(x) = 0, daca f(a) = 0.

Se spune ca x0 din C este o radacina multipla de ordinul p pentru polinomul f daca

${(X-x_{\circ})}^{p}|{f}\;si\;{(X-x_{\circ})}^{p+1}\not|{f}.$ {(X-x_{\circ})}^{p}|{f}\;si\;{(X-x_{\circ})}^{p+1}\not|{f}.

Functia

$\tilde{f}:{\mathbb{C}}\rightarrow{\mathbb{C}},\;\tilde{f}{(x)}=f(x),\;\forall{x}\in{\mathbb{C}},$ \tilde{f}:{\mathbb{C}}\rightarrow{\mathbb{C}},\;\tilde{f}{(x)}=f(x),\;\forall{x}\in{\mathbb{C}},

se numeste functie polinomiala asociata polinomului f.

Fie f,g in C[X]. Se spune ca polinomul f este divizibil cu polinomul g daca exista

un polinom h cu coeficienti complecsi, astfel incat f = gh.

Teorema lui Bézout:

Fie f in C[X] un polinom nenul (cu coeficienti complecsi si nedeterminata X) si a un

numar complex.

Atunci a este o radacina a polinomului f daca si numai daca (X - a)|f.

Teorema fundamentala a algebrei (D'Alembert-Gauss):

Orice ecuatie algebrica de gradul n, n mai mare sau egal cu 1, admite, cel putin, o

radacina complexa.

Consecinte:

O ecuatie algebrica de gradul n admite exact n radacini complexe;
Polinomul f are gradul n, mai mare sau egal cu 1, daca si numai daca

f = an(x - x1)(x - x2) ... (x - xn), unde xk, k = 1, 2, ... , n,

sunt cele n radacini (distincte sau nu) ale polinomului f.

Relatiile lui Viète:

Fie polinomul f cu coeficienti complecsi si nedeterminata X, de gradul n,

$f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0},\;{a_n}\neq{0},$ f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0},\;{a_n}\neq{0},

${x_k},\;{1}\leq{k}\leq{n}$ {x_k},\;{1}\leq{k}\leq{n}

radacinile sale; atunci:

$\begin{cases}\sum{x_1}= -\frac{a_{n-1}}{a_n}\\\sum{x_1}{x_2}=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_{k}}={(-1)}^{k}}\cdot\frac{a_k}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_n}}={{(-1)}^{n}}\cdot\frac{a_0}{a_n}\end{cases},$ \begin{cases}\sum{x_1}= -\frac{a_{n-1}}{a_n}\\\sum{x_1}{x_2}=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_{k}}={(-1)}^{k}}\cdot\frac{a_k}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_n}}={{(-1)}^{n}}\cdot\frac{a_0}{a_n}\end{cases},

unde prin

$\sum{x_1}{x_2}\cdots{x_i}$ \sum{x_1}{x_2}\cdots{x_i}

s-a notat suma tuturor produselor celor i radacini ale polinomului f,

i = 1, 2, 3, ... , n.

Observatie:

Daca se noteaza cu S1 , S2 , S3 ,..., Sn sumele din relatiile lui Viète, atunci ecuatia

algebrica, ale carei radacini sunt x1 , x2 , x3 ,..., xn, are urmatorul aspect:

$x^n-S_1x^{n-1}+S_2x^{n-2}-\cdots+(-1)^kS_kx^{n-k}+\cdots+(-1)^{n-1}S_{n-1}x+(-1)^nS_n=0.$ x^n-S_1x^{n-1}+S_2x^{n-2}-\cdots+(-1)^kS_kx^{n-k}+\cdots+(-1)^{n-1}S_{n-1}x+(-1)^nS_n=0.