Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 04 Februarie, 2012

1) SISTEME LINIARE-teorie

Sisteme de 2 ecuatii cu 2 necunoscute.

\begin{cases}ax+by=c\\dx+ey=f\end{cases},\begin{cases}ax+by=c\\dx+ey=f\end{cases}, unde a,b,c,d,e,f Є R.

Presupunand ca toti coeficientii necunoscutelor sunt nenuli

(in caz contrar se obtin sisteme particulare cu rezolvare mult simplificata)

si ca ecuatiile nu sunt contradictorii si, de asemenea, una din ele nu se obtine din

cealalta prin inmultire cu un numar nenul, avem la dispozitie 2 metode de rezolvare:

1) Metoda reducerii (a combinatiilor liniare):

Se inmultesc ecuatiile cu numere convenabil alese, incat prin adunarea acestora,

sa se reduca una din necunoscute; se obtine o ecuatie de gradul I cu o necunoscuta,

se afla valoarea necunoscutei respective, se inlocuieste in una din ecuatiile initiale si se

afla valoarea celeilalte necunoscute.

Exemplu:

\begin{cases}3x-2y=-1\\2x+3y=8\end{cases}.\begin{cases}3x-2y=-1\\2x+3y=8\end{cases}.

Inmultim prima ecuatie cu 3, a doua cu 2 si sistemul devine:

\begin{cases}9x-6y=-3\\4x+6y=16\end{cases}.\begin{cases}9x-6y=-3\\4x+6y=16\end{cases}.

Adunand ecuatiile obtinem 13x = 13, deci x = 1.

Inlocuim, de pilda, in a 2-a ecuatie din sistemul initial si obtinem:

2 + 3y = 8 < = > 3y = 6 < = > y = 2.

Deci solutia sistemului este S = {(1;2)}. 

2) Metoda substitutiei:

\begin{cases}3x-2y=-1\\2x+3y=8\end{cases}.\begin{cases}3x-2y=-1\\2x+3y=8\end{cases}.

Se exprima, dintr-una din ecuatii, o necunoscuta in functie de cealalta, se inlocuieste

in a doua ecuatie, se obtine o ecuatie cu o singura necunoscuta si se procedeaza,

apoi, ca la prima metoda. 

Din ecuatia a doua avem y = (8 - 2x)/3, inlocuim in prima ecuatie si se obtine:

3x - 2(8 - 2x)/3 = -1 <=> 9x - 16 + 4x = -3 <=> 13x = 13 etc. 

3) Regula lui Cramer:

Fie sistemul liniar:

\begin{cases}ax+by=c\\a^{\begin{cases}ax+by=c\\a^{'}x+b^{'}y=c^{'}\end{cases}.

Solutia sistemului este data de formulele lui Cramer:

x=\frac{\Delta_x}{\Delta}\;si\;y=\frac{\Delta_y}{\Delta},\;unde\;\Delta\not={0}x=\frac{\Delta_x}{\Delta}\;si\;y=\frac{\Delta_y}{\Delta},\;unde\;\Delta\not={0}

in care s-au folosit notatiile:

\Delta=\begin{vmatrix}a&b\\a^{\Delta=\begin{vmatrix}a&b\\a^{'}&b^{'}\end{vmatrix}=ab^{'}-a^{'}b       (determinantul sistemului)

\Delta_x=\begin{vmatrix}c&b\\c^{\Delta_x=\begin{vmatrix}c&b\\c^{'}&b^{'}\end{vmatrix}=cb^{'}-c^{'}b        (determinantul asociat necunoscutei x),

\Delta_y=\begin{vmatrix}a&c\\a^{\Delta_y=\begin{vmatrix}a&c\\a^{'}&c^{'}\end{vmatrix}=ac^{'}-a^{'}c        (determinantul asociat necunoscutei y).

Observatii:

1) Dupa numarul de solutii, sistemul poate fi:

  • compatibil determinat (admite solutie unica, dreptele reprezentative sunt concurente) daca si numai daca determinantul sistemului este nenul;
  • compatibil nedeterminat (admite o infinitate de solutii, dreptele reprezentative sunt confundate), daca determinantul sistemului este nul si ecuatiile sunt echivalente (se pot aduce la aceeasi forma); 
  • incompatibil (nu admite solutii, dreptele sunt paralele), daca determinantul sistemului este nul si ecuatiile nu sunt echivalente.

2) Regula lui Cramer va fi generalizata la nivel de liceu, pentru sisteme liniare formate

din n ecuatii cu n necunoscute.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan