Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 21 Iulie, 2010

TEORIE

Partea intreaga a unui numar real:

Oricare ar fi numarul real a, exista numarul intreg k, astfel incat a€[k,k+1); 

acest numar k intreg, notat [a], se  numeste partea intreaga a numarului real a.

Rezulta de aici:

{[a]}\leq{a}<{[a]+1}{[a]}\leq{a}<{[a]+1}

si

{a-1}<{[a]}\leq{a},\;\forall{a}\in{\mathbb{R}}.{a-1}<{[a]}\leq{a},\;\forall{a}\in{\mathbb{R}}.

Partea fractionara a unui numar real:

\{a\}={a-[a]}\Rightarrow{{0}\leq\{a\}<{1}},\;\forall{a}\in{\mathbb{R}}.\{a\}={a-[a]}\Rightarrow{{0}\leq\{a\}<{1}},\;\forall{a}\in{\mathbb{R}}.

PUTERI:

1) Cu exponent real: 

Fie a,b numere pozitive si x,y numere reale oarecare; atunci:  

  • {a^x}\cdot{a^y}=a^{x+y};{a^x}\cdot{a^y}=a^{x+y};
  • \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y};\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y};
  • {(\frac{a}{b})}^{x}=\frac{a^x}{b^x};{(\frac{a}{b})}^{x}=\frac{a^x}{b^x};
  • {({a}\cdot{b})}^x={a^x}\cdot{b^x};{({a}\cdot{b})}^x={a^x}\cdot{b^x};
  • {(a^x)}^{y} = {a}^{xy}.{(a^x)}^{y} = {a}^{xy}.

2) Cu exponent intreg negativ:

Fie a numar real nenul si n natural nenul.

Se numeste "puterea a (-n)-a a lui a", notata a^{-n},a^{-n},

numarul real definit prin:

a^{-n}=\frac{1}{a^n}.a^{-n}=\frac{1}{a^n}.

Observaţie:

Prin definitie:

a^{0}=1,\forall{a\neq{0}}.a^{0}=1,\forall{a\neq{0}}.

3) Cu exponent rational:

Fie a > 0 si

r=\frac{m}{n},{m}\in{\mathbb{Z}},\;{n}\in{{\mathbb{N}}^{*}},\;{n}\geq{2}.r=\frac{m}{n},{m}\in{\mathbb{Z}},\;{n}\in{{\mathbb{N}}^{*}},\;{n}\geq{2}.

Se numeste "a la puterea r" numarul real notat:

{a^r}={a}^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.{a^r}={a}^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.

RADICALI (de ordinul n natural, mai mare sau egal cu 2):  

1) Daca n este un numar par, mai mare sau egal cu 2 si a nenegativ (mai mare sau

egal cu zero), se numeste radacina de ordinul n din a (sau radacina aritmetica de

ordinul n din a), numarul nenegativ, notat prin

\sqrt[n]{a},\sqrt[n]{a},

astfel incat:

{(\sqrt[n]{a})}^{n} = a.{(\sqrt[n]{a})}^{n} = a.

2) Daca n este impar, mai mare sau egal cu 3 si a un numar real oarecare, se numeste  

radacina de ordinul n a lui a (sau radacina aritmetica de ordinul n a lui a) numarul

real notat prin

\sqrt[n]{a},\sqrt[n]{a},

astfel incat:

(\sqrt[n]{a})^{n}=a.(\sqrt[n]{a})^{n}=a.

Proprietati ale radicalilor:

  • Radacina unui produs este egala cu produsul radacinilor:

\sqrt[n]{{a}\cdot{b}}=\begin{cases}\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b},\forall{a,b}\geq{0}\\\sqrt[n]{|a|}\cdot\sqrt[n]{|b|},\forall{{a}\cdot{b}}\geq{0}\end{cases};\sqrt[n]{{a}\cdot{b}}=\begin{cases}\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b},\forall{a,b}\geq{0}\\\sqrt[n]{|a|}\cdot\sqrt[n]{|b|},\forall{{a}\cdot{b}}\geq{0}\end{cases};

  • Radacina unui cat este egala cu catul radacinilor:

\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\begin{cases}\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\forall{a,b}\geq{0},{b}\neq{0}\\\frac{\sqrt[n]{|a|}}{\sqrt[n]{|b|}},\forall{{a}\cdot{b}}\geq{0},{b}\neq{0}\end{cases};\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\begin{cases}\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\forall{a,b}\geq{0},{b}\neq{0}\\\frac{\sqrt[n]{|a|}}{\sqrt[n]{|b|}},\forall{{a}\cdot{b}}\geq{0},{b}\neq{0}\end{cases};

  • Puterea unei radacini:

{(\sqrt[n]{a})}^{m}=\sqrt[n]{a^m},\forall{a}\ge{0},m\in{{\mathbb{N}}^*};{(\sqrt[n]{a})}^{m}=\sqrt[n]{a^m},\forall{a}\ge{0},m\in{{\mathbb{N}}^*};

  • Simplificarea unei radacini:

\sqrt[mn]{a^m}=\begin{cases}\sqrt[n]{a}, {a}\geq{0}, {m}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\\sqrt[n]{|a|}, {a}<{0}, {m}\; {pair}\end{cases};\sqrt[mn]{a^m}=\begin{cases}\sqrt[n]{a}, {a}\geq{0}, {m}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\\sqrt[n]{|a|}, {a}<{0}, {m}\; {pair}\end{cases};

  • Radacina unei radacini:

\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\begin{cases}\sqrt[mn]{a},\forall{a}\geq{0}, {m}\in{{\mathbb{N}}^{*}},{m}\geq{2},{n}\in{{\mathbb{N}}^{*}},{n}={2k},{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\\sqrt[mn]{a},\forall{a}\in{\mathbb{R}},{m}\in{{\mathbb{N}}^{*}},{m}={2k+1},{n}={2p+1},{k,p}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\end{cases};\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\begin{cases}\sqrt[mn]{a},\forall{a}\geq{0}, {m}\in{{\mathbb{N}}^{*}},{m}\geq{2},{n}\in{{\mathbb{N}}^{*}},{n}={2k},{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\\sqrt[mn]{a},\forall{a}\in{\mathbb{R}},{m}\in{{\mathbb{N}}^{*}},{m}={2k+1},{n}={2p+1},{k,p}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\end{cases};

  • Introducerea unui factor sub un radical:

{a}\sqrt[n]{b}=\begin{cases}\sqrt[n]{{a^n}\cdot{b}},\;{a,b}\geq{0},\;{n}={2k},\;{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\-\sqrt[n]{{a^n}\cdot{b}},\;{a<0},{b\geq{0}},\;{n}={2k},\;{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\\sqrt[n]{{a^n}\cdot{b}},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{R}},\;{n}={2p+1},\;{p}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\end{cases};{a}\sqrt[n]{b}=\begin{cases}\sqrt[n]{{a^n}\cdot{b}},\;{a,b}\geq{0},\;{n}={2k},\;{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\-\sqrt[n]{{a^n}\cdot{b}},\;{a<0},{b\geq{0}},\;{n}={2k},\;{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\\sqrt[n]{{a^n}\cdot{b}},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{R}},\;{n}={2p+1},\;{p}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\end{cases};

  • Scoaterea unui factor de sub un radical:

\sqrt[n]{{a^n}\cdot{b}}=\begin{cases}{a}\sqrt[n]{b},{a,b}\geq{0},{n}={2k},{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\-{a}\sqrt[n]{b},{a}<{0},{b}\geq{0},{n}={2k},{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\{a}\cdot\sqrt[n]{b},\forall{a,b}\in{\mathbb{R}},{n}={2p+1},{p}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\end{cases}.\sqrt[n]{{a^n}\cdot{b}}=\begin{cases}{a}\sqrt[n]{b},{a,b}\geq{0},{n}={2k},{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\-{a}\sqrt[n]{b},{a}<{0},{b}\geq{0},{n}={2k},{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\{a}\cdot\sqrt[n]{b},\forall{a,b}\in{\mathbb{R}},{n}={2p+1},{p}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\end{cases}.

  • Formula radicalilor compusi:

\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{{a^2}-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{{a^2}-b}}{2}},\;{a,b}\geq{0},\;{{a}^{2}-{b}}\geq{0}.\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{{a^2}-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{{a^2}-b}}{2}},\;{a,b}\geq{0},\;{{a}^{2}-{b}}\geq{0}.

Observatie:

Formula prezinta interes cand numarul a² - b este un patrat perfect.

Postat în NUMERE REALE-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

Selecteaza link-ul de mai jos pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

Abonare la ultimele noutati aparute pe website !

Abonează-te (gratuit) şi vei fi anunţat(ă) în legătură cu ultimele noutăţi apărute pe site, numai după ce vei confirma aceasta opţiune in email-ul primit la adresa indicată!

 

 
Developed by Hagau Ioan