Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML
Ca toate operaţiile inverse, operaţia de primitivare, inversă a derivării, crează
un oarecare disconfort cel puţin in faza de abordare iniţială a acesteia.
E necesară (dar nu şi suficentă!) cunoaşterea cu exactitate a tuturor
aspectelor teoretice şi a formulelor şi tehnicilor de calcul al primitivelor de
funcţii (atunci când acestea există!), prezentate mai jos:
TEORIE
Data publicarii: 02.04.2011Definitie:
O functie f, definita pe intervalul I si cu valori in R, este primitivabila pe I,
daca există o functie F definita pe I si cu valori in R, derivabilă pe I şi F'(x) = f(x),
oricare ar fi x din I; funcţia F se numeşte o primitivă a funcţiei f şi, evident, în acest
caz, există o infinitate de primitive ale funcţiei f, mulţime care se numeşte integrala
nedefinită a funcţiei f; notatie:
\int{f(x)}{dx}=\{F|F:{I}\rightarrow{R}\}.
Daca functia f:I - > R admite o primitiva F, atunci
\int{f(x)}{dx}=F+\mathcal{C},
unde C = {f|f:I - > R|f constanta}, este mulţimea tuturor funcţiilor constante definite
pe I.
Primitive uzuale:
\int{x}^{n}{dx}=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C},{x}\in{\mathbb{R}},\forall{n}\in{\mathbb{N}}
\Rightarrow \int{1}\cdot{dx}=x +\mathcal{C},\;{x}\in{\mathbb{R}}.
\int{x}^{\alpha}{dx}=\frac{{x}^{\alpha+1}}{\alpha+1} +\mathcal{C} ,
{x}\in{I\subset(o,\infty)},\;\forall{\alpha\in{\mathbb{R}}}\setminus{\begin{Bmatrix}-1\end{Bmatrix}}.
\int\frac{1}{x}{dx}=\ln{|x|}+\mathcal{C},
{x}\in{I\subset(0,\infty)},\;sau\; {x}\in{I\subset(-\infty,0)}.
\int{a}^{x}{dx}=\frac{{a}^{x}}{\ln{a}}+\mathcal{C},
{x}\in{\mathbb{R}},\;{a}>{0},\;{a}\neq{1}\Rightarrow \int{e}^{x}{dx}={e}^{x} +\mathcal{C},\;{x}\in{\mathbb{R}}.
EXEMPLUL 1
Data publicarii: 15.07.2010Suport teoretic:
Calcul de primitive, proprietatile logaritmilor, rezolvare ecuatie logaritmica.
Enunt:
Fie F acea primitiva a functiei f:R - > R,
f(x)={\frac{2x+1}{x^2+x+e^2}}\cdot{[{ln}(x^2+x+e^2)^{2}-3]},
cu proprietatea F(0) = 0.
Sa se rezolve ecuatia F(x)=0.
Raspuns:
S={-1;0}.
EXEMPLUL 2
Data publicarii: 24.10.2010Suport teoretic:
Calculul unei integrale trigonometrice, identitati trigonometrice, prima metoda a schimbarii de variabila.
Enunt:
Sa se calculeze multimea primitivelor functiei f, definita pe R si cu valori in R, data prin
legea:
f(x) = xsin2(x² + 1).
Raspuns:
I = F(x) = (1/2)·sin²(x² + 1) + C.
EXEMPLUL 3
Data publicarii: 29.10.2011Suport teoretic:
Calculul primitivelor unei functii, identitati trigonometrice, rezolvarea unei ecuatii trigonometrice liniare.
Enunt:
Fie functia f:(0,π/4) - > R, unde
f(x)=\frac{{e^x}{sinx}}{1+{sin2x}}.
Sa se determine multimea
M=\{x\in{(0,\frac{\pi}{4})}|F(x)=\frac{{e^x}(\sqrt{3}-1)}{2}\},
unde F:(0,π/4) - > R reprezinta acea primitiva a functiei f, avand proprietatea:
F(0) = 1/2.
Raspuns:
M = {π/6}.
CATEGORII :
- 1. BREVIAR TEORETIC pentru GIMNAZIU.
- 2. ALGORITMI IN MATEMATICA DE GIMNAZIU
-
3. BREVIAR TEORETIC pentru LICEU.
- 3.1. ELEMENTE DE LOGICA MATEMATICA (3)
- 3.2. MULTIMI NUMERICE (4)
- 3.3. NUMERE REALE (6)
- 3.4. IDENTITATI REMARCABILE (4)
- 3.5. INEGALITATI (4)
- 3.6. INECUATII (5)
- 3.7. ECUATII ALGEBRICE (6)
- 3.8. ECUATII TRANSCENDENTE (5)
- 3.9. NUMERE COMPLEXE (5)
- 3.10. PROGRESII (4)
- 3.11. COMBINATORICA (6)
- 3.12. LOGARITMI (6)
- 3.13. PROBABILITATI (3)
- 3.14. PERMUTARI (4)
- 3.15. DETERMINANTI (4)
- 3.16. MATRICE (5)
- 3.17. SISTEME DE ECUATII LINIARE (5)
- 3.18. SISTEME DE ECUATII NELINIARE (6)
- 3.19. CLASE DE RESTURI modulo n (4)
- 3.20. GRUPURI (4)
- 3.21. INELE SI CORPURI (4)
- 3.22. POLINOAME CU COEFICIENTI REALI (5)
- 3.23. POLINOAME CU COEFICIENTI COMPLECSI (4)
- 3.24. RELATII (4)
- 3.25. FUNCTII - generalitati (6)
- 3.26. FUNCTII ELEMENTARE (5)
- 3.27. FUNCTII SPECIALE (5)
- 3.28. FUNCTII INVERSABILE (5)
- 3.29. LIMITE DE SIRURI (4)
- 3.30. LIMITE DE FUNCTII (4)
- 3.31. FUNCTII CONTINUE (4)
- 3.32. FUNCTII DERIVABILE (4)
- 3.33. PROPRIETATI ALE FUNCTIILOR DERIVABILE (4)
- 3.34. PRIMITIVE (4)
- 3.35. INTEGRALE DEFINITE (7)
- 3.36. SCHIMBARI DE VARIABILA (6)
- 3.37. APLICATII ALE INTEGRALEI DEFINITE (4)
- 3.38. VECTORI (7)
- 3.39. TRIGONOMETRIE (6)
- 3.40. APLICATII ALE TRIGONOMETRIEI IN GEOMETRIE (4)
- 3.41. GEOMETRIE SINTETICA IN PLAN (8)
- 3.42. GEOMETRIE SINTETICA IN SPATIU (6)
- 3.43. GEOMETRIE ANALITICA IN PLAN (12)
- 3.44. GEOMETRIE ANALITICA IN SPATIU (4)
- 4. ALGORITMI IN MATEMATICA DE LICEU
- 5. CUM ABORDAM O PROBLEMA? (0)
- 6. PROBLEME DIVERSE CU REZOLVARI COMPLETE. (26)
- 7. REZOLVARI ELEMENTARE SI NEELEMENTARE (6)
- 8. ALGEBRA - aplicatii
- 9. PROBABILITATI - aplicatii (10)
- 10. GEOMETRIE - aplicatii
- 11. TRIGONOMETRIE - aplicatii (31)
- 12. ANALIZA - aplicatii
- 13. PROBLEME PROPUSE IN MANUALE SI LA BACALAUREAT
- 14. AUDITII (4)
- 15. CUVINTE DE SPIRIT DESPRE MATEMATICA (0)
- 16. PROBLEME DISTRACTIVE (8)
- 17. UNDE ESTE GRESEALA ?
