Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»PRIMITIVE

Ca toate operaţiile inverse, operaţia de primitivare, inversă a derivării, crează

un oarecare disconfort cel puţin in faza de abordare iniţială a acesteia.

E necesară (dar nu şi suficentă!) cunoaşterea cu exactitate a tuturor

aspectelor teoretice şi a formulelor şi tehnicilor de calcul al primitivelor de

funcţii (atunci când acestea există!), prezentate mai jos:

TEORIE

Data publicarii: 02.04.2011

Definitie:

O functie f, definita pe intervalul I si cu valori in R, este primitivabila pe I,

daca există o functie F definita pe I si cu valori in R, derivabilă pe I şi F'(x) = f(x),

oricare ar fi x din I; funcţia F se numeşte o primitivă a funcţiei f şi, evident, în acest

caz, există o infinitate de primitive ale funcţiei f, mulţime care se numeşte integrala

nedefinită a funcţiei f; notatie:

$\int{f(x)}{dx}=\{F|F:{I}\rightarrow{R}\}.$ \int{f(x)}{dx}=\{F|F:{I}\rightarrow{R}\}.

Daca functia f:I - > R admite o primitiva F, atunci

$\int{f(x)}{dx}=F+\mathcal{C},$ \int{f(x)}{dx}=F+\mathcal{C},

unde C = {f|f:I - > R|f constanta}, este mulţimea tuturor funcţiilor constante definite

pe I.

Primitive uzuale:

$\int{x}^{n}{dx}=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C},{x}\in{\mathbb{R}},\forall{n}\in{\mathbb{N}}$ \int{x}^{n}{dx}=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C},{x}\in{\mathbb{R}},\forall{n}\in{\mathbb{N}} $\Rightarrow \int{1}\cdot{dx}=x +\mathcal{C},\;{x}\in{\mathbb{R}}.$ \Rightarrow \int{1}\cdot{dx}=x +\mathcal{C},\;{x}\in{\mathbb{R}}.
$\int{x}^{\alpha}{dx}=\frac{{x}^{\alpha+1}}{\alpha+1} +\mathcal{C}$ \int{x}^{\alpha}{dx}=\frac{{x}^{\alpha+1}}{\alpha+1} +\mathcal{C} , ${x}\in{I\subset(o,\infty)},\;\forall{\alpha\in{\mathbb{R}}}\setminus{\begin{Bmatrix}-1\end{Bmatrix}}.$ {x}\in{I\subset(o,\infty)},\;\forall{\alpha\in{\mathbb{R}}}\setminus{\begin{Bmatrix}-1\end{Bmatrix}}.
$\int\frac{1}{x}{dx}=\ln{|x|}+\mathcal{C},$ \int\frac{1}{x}{dx}=\ln{|x|}+\mathcal{C}, ${x}\in{I\subset(0,\infty)},\;sau\; {x}\in{I\subset(-\infty,0)}.$ {x}\in{I\subset(0,\infty)},\;sau\; {x}\in{I\subset(-\infty,0)}.
$\int{a}^{x}{dx}=\frac{{a}^{x}}{\ln{a}}+\mathcal{C},$ \int{a}^{x}{dx}=\frac{{a}^{x}}{\ln{a}}+\mathcal{C}, ${x}\in{\mathbb{R}},\;{a}>{0},\;{a}\neq{1}\Rightarrow \int{e}^{x}{dx}={e}^{x} +\mathcal{C},\;{x}\in{\mathbb{R}}.$ {x}\in{\mathbb{R}},\;{a}>{0},\;{a}\neq{1}\Rightarrow \int{e}^{x}{dx}={e}^{x} +\mathcal{C},\;{x}\in{\mathbb{R}}.