Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML
Definiţii şi, mai ales, toate formulele şi regulile de derivare ale funcţiilor
elementare studiate, fără de care nu se poate imagina rezolvarea multor
probleme de monotonie, mărginire, extreme, limite, aplicaţii în geometrie
(panta unei tangente la o conică), fizică (viteză, acceleraţie, intensitate
a curentului etc) etc.
TEORIE
Data publicarii: 06.11.2008Definitie:
Se spune ca o functie f:I - >R, este derivabilă în x = a, unde a aparţine intervalului I,
dacă
\lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
există şi este finită; dacă limita nu există sau este infinită, funcţia nu este derivabilă
în x = a; limita, când există, se noteaza cu f'(a).
Interpretarea geometrica a derivatei finite a unei functii intr-un punct:
Derivata finita a unei functii f:I - > R intr-un punct x = a din
intervalul I (adica f'(a)) reprezinta panta tangentei la graficul acestei functii, care
trece prin punctul T(a, f(a)); ecuatia tangentei este: y - f(a) = f'(a)(x - a).
Teorema:
Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.
Derivata unei functii compuse:
Daca functiile u:D - > E si f:E - >R,
unde D si E sunt intervale din multimea numerelor reale, sunt derivabile, atunci functia
h = f°u:D - > R, numita compusa lor, definita prin legea h(x) = f(u(x)), pentru orice
EXEMPLUL 1
Data publicarii: 29.08.2010Suport teoretic:
Functia arcsinus, functii derivabile, derivata intai, derivata a doua, domeniu de definitie, domeniu de derivabilitate, inecuatia de gradul al doilea, intersectia a doua intervale.
Enunt:
Sa se rezolve inecuatia f'(x) + f"(x) > 0, pe domeniul maxim de definitie al functiei
data prin legea f(x) = arcsinx.
Raspuns:
x\in{(\frac{1-\sqrt{5}}{2},1)}.
EXEMPLUL 2
Data publicarii: 23.10.2010Suport teoretic:
Functie bijectiva, functie inversabila, derivata inversei unei functii derivabile, ecuatie algebrica de grad superior.
Enunt:
Fie f functia polinomiala, definita pe R si cu valori in R, data prin legea
f(x)=x^7+x^5+x^3+x.
a) Sa se demonstreze ca f este inversabila;
b) Sa se calculeze derivata inversei functiei f in punctul y = - 2.
Raspuns:
b)\;{(f^{-1})}^{'}(-2)=\frac{1}{16}.
EXEMPLUL 3
Data publicarii: 26.03.2011Suport teoretic:
Functii polinomiale, puncte de extrem, bisectoarea a doua, reprezentarea geometrica a graficului unei functii.
Enunt:
Sa se afle parametrii reali a si b, astfel incat graficul functiei definita prin f: R - > R,
f(x) = 2x³ - 9ax² + 12a²x + 6b,
sa admita 2 puncte de extrem, situate in cadranele I si IV, iar dreapta determinata de
acestea sa fie paralela cu bisectoarea a doua.
Raspuns:
a = 1, - 5/6 < b < - 2/3.
CATEGORII :
- 1. BREVIAR TEORETIC pentru GIMNAZIU.
- 2. ALGORITMI IN MATEMATICA DE GIMNAZIU
-
3. BREVIAR TEORETIC pentru LICEU.
- 3.1. ELEMENTE DE LOGICA MATEMATICA (3)
- 3.2. MULTIMI NUMERICE (4)
- 3.3. NUMERE REALE (6)
- 3.4. IDENTITATI REMARCABILE (4)
- 3.5. INEGALITATI (4)
- 3.6. INECUATII (5)
- 3.7. ECUATII ALGEBRICE (6)
- 3.8. ECUATII TRANSCENDENTE (5)
- 3.9. NUMERE COMPLEXE (5)
- 3.10. PROGRESII (4)
- 3.11. COMBINATORICA (6)
- 3.12. LOGARITMI (6)
- 3.13. PROBABILITATI (3)
- 3.14. PERMUTARI (4)
- 3.15. DETERMINANTI (4)
- 3.16. MATRICE (5)
- 3.17. SISTEME DE ECUATII LINIARE (5)
- 3.18. SISTEME DE ECUATII NELINIARE (6)
- 3.19. CLASE DE RESTURI modulo n (4)
- 3.20. GRUPURI (4)
- 3.21. INELE SI CORPURI (4)
- 3.22. POLINOAME CU COEFICIENTI REALI (5)
- 3.23. POLINOAME CU COEFICIENTI COMPLECSI (4)
- 3.24. RELATII (4)
- 3.25. FUNCTII - generalitati (6)
- 3.26. FUNCTII ELEMENTARE (5)
- 3.27. FUNCTII SPECIALE (5)
- 3.28. FUNCTII INVERSABILE (5)
- 3.29. LIMITE DE SIRURI (4)
- 3.30. LIMITE DE FUNCTII (4)
- 3.31. FUNCTII CONTINUE (4)
- 3.32. FUNCTII DERIVABILE (4)
- 3.33. PROPRIETATI ALE FUNCTIILOR DERIVABILE (4)
- 3.34. PRIMITIVE (4)
- 3.35. INTEGRALE DEFINITE (7)
- 3.36. SCHIMBARI DE VARIABILA (6)
- 3.37. APLICATII ALE INTEGRALEI DEFINITE (4)
- 3.38. VECTORI (7)
- 3.39. TRIGONOMETRIE (6)
- 3.40. APLICATII ALE TRIGONOMETRIEI IN GEOMETRIE (4)
- 3.41. GEOMETRIE SINTETICA IN PLAN (8)
- 3.42. GEOMETRIE SINTETICA IN SPATIU (6)
- 3.43. GEOMETRIE ANALITICA IN PLAN (12)
- 3.44. GEOMETRIE ANALITICA IN SPATIU (4)
- 4. ALGORITMI IN MATEMATICA DE LICEU
- 5. CUM ABORDAM O PROBLEMA? (0)
- 6. PROBLEME DIVERSE CU REZOLVARI COMPLETE. (26)
- 7. REZOLVARI ELEMENTARE SI NEELEMENTARE (6)
- 8. ALGEBRA - aplicatii
- 9. PROBABILITATI - aplicatii (10)
- 10. GEOMETRIE - aplicatii
- 11. TRIGONOMETRIE - aplicatii (31)
- 12. ANALIZA - aplicatii
- 13. PROBLEME PROPUSE IN MANUALE SI LA BACALAUREAT
- 14. AUDITII (4)
- 15. CUVINTE DE SPIRIT DESPRE MATEMATICA (0)
- 16. PROBLEME DISTRACTIVE (8)
- 17. UNDE ESTE GRESEALA ?
