Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML
Acest capitol conţine toate definiţiile, formulele şi teoremele necesare pentru
a stăpâni pe deplin algoritmul privind studiul variaţiei şi reprezentarea
geometrică a graficelor de funcţii.
TEORIE
Data publicarii: 15.12.2009Definitii si proprietati:
Fiind date două mulţimi nevide A şi B şi o lege (formulă, regulă) de corespondenţă
între elementele celor doua mulţimi, notată, de exemplu, cu f, care asociază fiecărui
element x din A un element unic y din B, tripletul (A,B,f) se numeşte funcţie
(aplicaţie) definită pe A, cu valori în B. Notatie uzuala:
f:A - > B <=> oricare ar fi x din A, exista y in B, y unic, astfel incat y = f(x).
- Multimile A si B se numesc domeniul, respectiv codomeniul functiei f,
iar elementele x si y preimaginea lui y, prin functia f, respectiv imaginea lui x prin
functia f.
- Daca A si B sunt multimi de numere reale, atunci f se numeste functie numerica.
- Functiile f:A - > B si g:A' - > B' sunt egale daca
A = A', B = B' si f(x) = g(x), oricare ar fi x din A.
- Daca f:A - > B si
\bar{f}:{A'}\rightarrow{B},
unde A' este inclusa in, sunt doua functii cu proprietatea
restrictia functiei f la multimea A', iar f se numeste prelungirea functiei
la multimea A.
- Fiind data functia f:A - > B, se numeste imaginea functiei f (multimea valorilor
functiei f) multimea Imf = {y € B|exista x in A, astfel incat y = f(x)}.
EXEMPLUL 1
Data publicarii: 23.08.2010Suport teoretic:
Functie reala de variabila reala, functie bijectiva, inversa unei functii bijective.
Enunt:
Fie f o functie reala de variabila reala, bijectiva.
Sa se arate ca functia φ:R - > R, φ(x) = a·f(x³ + b) + c, unde a, b, c sunt numere
reale si a nenul, este bijectiva si sa se determina inversa sa.
Raspuns:
![{\varphi}^{-1}:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\;{\varphi}^{-1}(x)=\sqrt[3]{{f^{-1}}(\frac{x-c}{a})-b}.](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%7B%5Cvarphi%7D%5E%7B-1%7D%3A%7B%5Cmathbb%7BR%7D%7D%5Crightarrow%7B%5Cmathbb%7BR%7D%7D%2C%5C%3B%7B%5Cvarphi%7D%5E%7B-1%7D%28x%29%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%7Bf%5E%7B-1%7D%7D%28%5Cfrac%7Bx-c%7D%7Ba%7D%29-b%7D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=0 "{\varphi}^{-1}:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\;{\varphi}^{-1}(x)=\sqrt[3]{{f^{-1}}(\frac{x-c}{a})-b}.")
EXEMPLUL 2
Data publicarii: 27.10.2010Suport teoretic:
Functia arcsin, functii compuse, functii bijective, derivata inversei unei functii, proprietatile functiilor derivabile.
Enunt:
Sa se demonstreze ca functia
![f:[1;\sqrt{2}]\rightarrow{[0;\frac{\pi}{2}]},\;f(x)=arcsin{\sqrt{2-x^2}}](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=f%3A%5B1%3B%5Csqrt%7B2%7D%5D%5Crightarrow%7B%5B0%3B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5D%7D%2C%5C%3Bf%28x%29%3Darcsin%7B%5Csqrt%7B2-x%5E2%7D%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=0 "f:[1;\sqrt{2}]\rightarrow{[0;\frac{\pi}{2}]},\;f(x)=arcsin{\sqrt{2-x^2}}")
este inversabila si sa se calculeze, apoi, in doua moduri distincte:
Raspuns:
EXEMPLUL 3
Data publicarii: 24.07.2011Suport teoretic:
Functii trigonometrice, identitati trigonometrice, preimaginea unui numar real.
Enunt:
Sa se determine multimea M a preimaginilor numarului real 1 prin functia f:D - > R,
f(x) = (1 + cosx)/(sinx), unde D reprezinta domeniul maxim de definitie.
Raspuns:
M = {π/2 + 2kπ|k € Z}.
EXEMPLUL 4
Data publicarii: 17.09.2011Suport teoretic:
Cardinalul unei multimi, functii numerice, functii injective si strict monotone.
Enunt:
Sa se calculeze cardinalul multimii M a tuturor functiilor f:{1;2;3} - > {4;5;6;7}, strict
crescatoare pe domeniul de definitie.
Raspuns:
Card(M) = 10.
CATEGORII :
- 1. BREVIAR TEORETIC pentru GIMNAZIU.
- 2. ALGORITMI IN MATEMATICA DE GIMNAZIU
-
3. BREVIAR TEORETIC pentru LICEU.
- 3.1. ELEMENTE DE LOGICA MATEMATICA (3)
- 3.2. MULTIMI NUMERICE (4)
- 3.3. NUMERE REALE (6)
- 3.4. IDENTITATI REMARCABILE (4)
- 3.5. INEGALITATI (4)
- 3.6. INECUATII (5)
- 3.7. ECUATII ALGEBRICE (6)
- 3.8. ECUATII TRANSCENDENTE (5)
- 3.9. NUMERE COMPLEXE (5)
- 3.10. PROGRESII (4)
- 3.11. COMBINATORICA (6)
- 3.12. LOGARITMI (6)
- 3.13. PROBABILITATI (3)
- 3.14. PERMUTARI (4)
- 3.15. DETERMINANTI (4)
- 3.16. MATRICE (5)
- 3.17. SISTEME DE ECUATII LINIARE (5)
- 3.18. SISTEME DE ECUATII NELINIARE (6)
- 3.19. CLASE DE RESTURI modulo n (4)
- 3.20. GRUPURI (4)
- 3.21. INELE SI CORPURI (4)
- 3.22. POLINOAME CU COEFICIENTI REALI (5)
- 3.23. POLINOAME CU COEFICIENTI COMPLECSI (4)
- 3.24. RELATII (4)
- 3.25. FUNCTII - generalitati (6)
- 3.26. FUNCTII ELEMENTARE (5)
- 3.27. FUNCTII SPECIALE (5)
- 3.28. FUNCTII INVERSABILE (5)
- 3.29. LIMITE DE SIRURI (4)
- 3.30. LIMITE DE FUNCTII (4)
- 3.31. FUNCTII CONTINUE (4)
- 3.32. FUNCTII DERIVABILE (4)
- 3.33. PROPRIETATI ALE FUNCTIILOR DERIVABILE (4)
- 3.34. PRIMITIVE (4)
- 3.35. INTEGRALE DEFINITE (7)
- 3.36. SCHIMBARI DE VARIABILA (6)
- 3.37. APLICATII ALE INTEGRALEI DEFINITE (4)
- 3.38. VECTORI (7)
- 3.39. TRIGONOMETRIE (6)
- 3.40. APLICATII ALE TRIGONOMETRIEI IN GEOMETRIE (4)
- 3.41. GEOMETRIE SINTETICA IN PLAN (8)
- 3.42. GEOMETRIE SINTETICA IN SPATIU (6)
- 3.43. GEOMETRIE ANALITICA IN PLAN (12)
- 3.44. GEOMETRIE ANALITICA IN SPATIU (4)
- 4. ALGORITMI IN MATEMATICA DE LICEU
- 5. CUM ABORDAM O PROBLEMA? (0)
- 6. PROBLEME DIVERSE CU REZOLVARI COMPLETE. (26)
- 7. REZOLVARI ELEMENTARE SI NEELEMENTARE (6)
- 8. ALGEBRA - aplicatii
- 9. PROBABILITATI - aplicatii (10)
- 10. GEOMETRIE - aplicatii
- 11. TRIGONOMETRIE - aplicatii (31)
- 12. ANALIZA - aplicatii
- 13. PROBLEME PROPUSE IN MANUALE SI LA BACALAUREAT
- 14. AUDITII (4)
- 15. CUVINTE DE SPIRIT DESPRE MATEMATICA (0)
- 16. PROBLEME DISTRACTIVE (8)
- 17. UNDE ESTE GRESEALA ?